Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
В случае диаграмм над свободными произведениями имеются две возможности. Если ф (е)=И=ф (J')'1, то можно перейти к рассмотрению других ребер. Если ф (е)=ф (Z')-1, то е и /' могут быть отождествлены, а если ef образуют замкнутую петлю а, такую, что ф(а) = 1, то петля ос вместе с внутренностью может быть исключена из диаграммы М.
Над свободными произведениями с объединенной подгруппой возможностей больше. Может случиться так, что два последовательных ребра е и /' границы дМ имеют метки х и у соответственно, такие, что ху лежит в объединяемой подгруппе А, но ху отлично от 1. Если это так, то у=х~3а для некоторого aQ А.
Пусть е начинается в вершине V1 и кончается в вершине v2, а /' начинается в V2 и кончается в vs. Возникает два случая. Сначала предположим, что vu v2, U3 — различные вершины. Допустим, что f не является последним ребром в дМ (граничном цикле, начинающемся в точке О). Пусть ребра, выходящие из vs и не равные (/')-1 — это /i, ... , fj в том порядке, в каком они встречаются в карте. Пусть также 4>(fi)=yt, t'=l, ... ,/. (См. рис. 11.1.)
Заменим метку ребра /' на х-1. Метки на ребрах ft заменим на ayi. (Поскольку а лежит в-склеенной части, ayt лежат в том же мно-
384
Г л. V. Теория малых сокращений
жителе группы F, что и у{.) Очевидно, что этот процесе сохраняет метку на дМ (с точностью до равенства в F, конечно) и свойство (2). Ребра ей/' теперь имеют взаимно обратные метки и могут быть отождествлены. (Если /' — последнее ребро в дМ, то е не может быть первым ребром в дМ, так как мы предполагаем, что tij и и2 — раз-
Рис. 11.1.
личные вершины. В этом случае мы заменим метку ребра е на у~11 подгоним метки на ребрах, исходящих из U1, и отождествим е с /'.)
Покажем теперь, что случай, когда последовательные ребра е и /' имеют метки хну, такие, что ху ? А, но вершины vu V2, у, не являются различными, невозможен. Если две из вершин совпадают, то имеется петля ? в дМ, такая, что |q>(?)| = l.
При построении начальной диаграммы петель длины 1 быть не могло. Поэтому рассмотрим первый случай, когда такая петля возникает. Поскольку мы рассматриваем первый такой случай, при всех предыдущих отождествлениях ребер вершины U1, v2, vs были различными. Пусть К — поддиаграмма в М, состоящая из петли ? и ее внутренности. По первой части нашего рассуждения К удовлетворяет (1) и (2), а значит, и условиям (і) и (ІІ), упомянутым перед формулировкой теоремы. В этом случае метка на дК содержит более половины нормальной формы некоторого элемента из R. Следовательно, |(p(?)|>l, и, значит, мы получили противоречие.
Приходится сделать вывод, что если последовательные ребра е, /' отождествляются в процессе построения диаграммы М, то вершины Pi, v2, V3 различные. Таким образом, в конце концов мы приходим к диаграмме, удовлетворяющей условиям (1) и (2). ?
Отметим одно серьезное отличие от ситуации свободных групп и свободных произведений. Над свободными группами или свободными произведениями диаграмма с условиями (1) и (2) существовала для произвольной последовательности элементов. В рассматриваемой ситуации для исключения возможности совпадения вершин Vt, v2, V3 пришлось опереться на условие малого сокращения для множества R. Если бы ей/' образовывали замкнутую петлю, в которой Vt=Vi, то описываемая процедура подгонки ребер не сработала бы, поскольку пришлось бы менять метку на самом е.
Геометрия R-диаграмм для множеств R, удовлетворяющих условию С'(1/6), в точности такая, как в случае R, удовлетворяющих
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями 385
соответствующему условию над свободной группой или обычным свободным произведением. Это позволяет сделать обычный вывод.
Теорема 11.2. Пусть F — свободное произведение с объединенной подгруппой, R — симметризованное подмножество в F и N — нормальное замыкание для ReF, такое, что G=FIN. Допустим, что R удовлетворяет условию C(X), где 1/6. Если w — нетривиальный элемент из N, то w=usv в приведенной форме и существует циклически приведенное г ?R, такое, что r=st в приведенной форме, a |s|>(l—3*)И.
В частности, естественное отображение v: F -+FIN изоморфно вкладывает каждый множитель X1 группы F. ?
Наш анализ геометрии возможных диаграмм сопряженности для R, удовлетворяющего условию С"(1/6), проходит без изменений. В частности, если R удовлетворяет дополнительному условию, состоящему в том, что никакой элемент из R не сопряжен в F со своим обратным, то два элемента длины 1 группы F сопряжены в FIN тогда и только тогда, когда они сопряжены в F.
Хуже по сравнению со случаем свободной группы или свободного произведения обстоит дело с алгоритмическими проблемами. Имеется две трудности. Во-первых, если г=гъ . .Zn — циклически приведенный элемент из R, то ara~1=(azi).. .(гпа~г) также циклически приведенный элемент из R для любого а ? А. Точно так же неуправляемым является процесс использования различных нормальных форм одного и того же элемента. При рассмотрении проблемы ' равенства, например, все, что мы знаем, это то, что если w — нетривиальный элемент из N, то некоторая нормальная форма для w содержит более половины какой-то нормальной формы некоторого элемента из R. При попытке применить алгоритм Дэна для решения проблемы равенства мы должны быть в состоянии решать следующий вопрос. Пусть дана строка S1.. .st элементов, каждый из которых лежит в некотором множителе группы F и ни один не лежит в объединяемой подгруппе. Существует ли циклически приведенный элемент из R с нормальной формой S1.. .stst+1. . .sn, такой, что t>\/2n}
