Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
V0 = Vect (ДНА и VectOMA^k*-
Отсюда вытекает
Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного п+ 1 точками Л0, А\9 An пространства S9 не превосходит п\ его размерность
92 ГЛ. НІ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равна п тогда и только тогда, когда п векторов
A0Ai (I ^n) образуют свободное семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.
4. БАРИЦЕНТРЫ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ АФФИННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
В последующем Ж всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством E над, вообще говоря, некоммутативным телом /С «Взвешенной точкой» называется элемент (A9X)S= Ж XK.
^ Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) (Ai9 Xi)1 є/ взвешенных точек, такого, что
Xi Ф О, существует единственная точка G9 удовіє/
летворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следущих трех условий а), Ь), с):
Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы (Ai9 Xi)1^1. Мы обозначаем ее
Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства, а) Однородность (слева).
Предложение 4.2. Для любого Xe= К* имеем
a) Z XiGAi = O9
SI(A1, Xi)
M(A1, XX1)^1 = $ (A1, Xi)1^1.
Ъ) Ассоциативность.
4 барицентры
93
Предложение 4.3. Пусть (I и ../р) — разбиение /, т. е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств /, таких, что (J /а = 1.
1 < а < р
Если для любого а?{1, р} скаляр \ia = — Y отличен от нуля и мы положим Ga =з
= Зі (A19 X1)^1 , то
a
ЛИ,, *,),e/ = *(Ga> 1Ia)1 <а<р.
Доказательства получаются непосредственно. ?
> Замечания. По предложению 4.2 можно всегда привести дело к случаю, когда «полная масса» системы (АІ9 ki)i(_l9 т. е. Y X19 равна 1. В этом и только
і є= I
в этом случае можно положить
Я (Ai9 Л,),в/= E KAi.
Для успешного использования этого обозначения
следует заметить, что соотношение G=Y ^iAi рав-
/<=/
носильно каждому из следующих утверждений:
? 1 и (ЗЛє=^) Mi=YhAAu (О
іє/ /є/
OM є= ff) Лб= ? МЛ/, (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества (A1)^1 пространства S называется точка $(АІ9 l)t€E/. Она существует только тогда, когда характеристика К не является делителем числа п = Card(7).
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
94 гл. ііг. структура аффинного пространства над телом
Предложение 4.4. Пусть (Ah Я/);є/ — конечное
СеМеЙСТВО ВЗВешеННЫХ ТОЧеК, TaKFIX, что Xt Ф О для
всех / є= /, Y КФ 0 и Card (/) > 3. /є/
Если характеристика К отлична от 2, то существует разбиение (/i, J2) множества /, такое, что
Y КФ о и ? xt ф о.
Доказательство. Если одна из сумм fi,- = Y h отлична от нуля, то достаточно положить Z1 == {/} и
Если все суммы р./ равны нулю, то все Xt равны одному и тому же элементу X^K*, такому, что [п — I)X = 0, где rt = Card(/).
Если характеристика /С отлична от 2, то 2А, ф 0, и, поскольку (/г — 2)Х = —X не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая J{ как двухэлементное подмножество, a J2 как подмножество из (п — 2) элементов. ?
Следствие. Если характеристика К не равна 2, то построение барицентра п точек приводится к последовательному построению п— 1 барицентров пар.
Приложение к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5. Если X— непустое подмножество в S, то Aff (X) есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в X.
Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства (Ait X1)^1 понимается множество
Условившись об этом, выберем некоторую точку А в X. Барицентры семейства с носителями в X суть точки G, удовлетворяющие соотношению вида
AG=YhAAo (3)
п
где Y h = 1 и (VO Ai є J. При этом соотношение (3)
4. барицентры
95
влечет за собой AG є Vect {AM)м s х и потому gq s Aff (X) (см. предложение 3.7). Обратно, если g- точка из Aff (X)1 то найдутся точки Ax, Лл, принадлежащие X, и скаляры Я1э ..., Xn (с суммой,
/г
необязательно равной 1), такие, что AG = J^XiAA1X это соотношение также записывается в виде
п _ п
AG=Yj ^tAAi с X0=I — Y h и A0 = A;
таким образом, g есть барицентр системы с носителем в X. D
> Определение 4.1. Подмножество XaS называется аффинно порождающим <%, если Aff (X) = Ж; оно называется аффинно свободным, если любая точка M из Aff (X) единственным образом представляется в виде
п п
M = Y hA(> где S^ = I и At<=X при любом /.
Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером х).
Выбирая начало А в X и полагая Хл== {ЛАГ | M ^X}, легко видеть, что Z аффинно свободное (соотв. аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда ХА свободное (соотв. множество образующих). (Напомним, что Vect (Xi) не зависит от выбора Л.) Отсюда вытекает
Предложение 4.6. Для того чтобы подмножество X пространства S было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы X не содержалось ни в какой афинной гиперплоскости в <§.
