Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
аффинными многообразиями с направлением V называются классы эквивалентности по отношению &tv
Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства S (см. упр. III. 4), но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.
Случай векторного пространства
Каждое векторное пространство E канонически снабжено аффинной структурой, так как (E9 +) действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор 0 называется также «началом» E и
(V (р9 q)^E2) p*q = q-p.
ЛАМ пространства E9 проходящие через 0, суть векторные подпространства в Е\ ЛАМ, проходящие через точку а є E9 суть образы векторных подпространств E при параллельном переносе тв.
3. линейные аффинные многообразия
89
Ради краткости JIAM1 не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в E).
Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства <§\ предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности 0 суть точки <§.
Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразий
^ Предложение 3.3. Пусть (Ti)1 є 1— семейство аффинных подпространств в S и V1 для каждого / є/ — на* правляющее подпространство для Ti*
Если пересечение T = [\ Tі непусто, то оно
является аффинным подпространством в E с направляющим V = П Vt.
і є=/
Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4. Для того чтобы пересечение Ti П T2 двух ЛАМ в S было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки Ax Q
ef1 и T2, что A1A2 GK1 + V21 и тогда (VM1 gef1)(VM2^r2) ЩМ2 є V1 + V2.
Доказательство. Если A^TxOT2, то для любых M1gf1, M2E=T2 имеем AMxS=Vx и AM2 є V2. Таким образом, Af1Al2 = AM2 — AM1 ef1 + V2.
Обратно, если существуют Ax^Tx и A2 е Тъ
такие, что AxA2 ^Vx + V29 то можно представить AxA2
90 гл. иг. структура аффинного пространства над телом
в виде A1A2 = U1 + U29 где щ є F1, и2 е V2. Тогда точка A9 определяемая условием A1A = Ui, принадлежит F1 и, как легко видеть, A2A = — и2. Это доказывает, что А принадлежит также T29 а тем самым Tx П T2 не пусто. ?
Из предложения 3.4 можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5. Если F1, T2 — аффинные подпространства в S9 направляющие которых взаимно дополняют друг друга в E9 то Т\ и F2 имеют единственную общую точку.
Параллелизм
Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразия Ти Т2 вполне параллельны1) 9 если они имеют одно и то же направляющее подпространство: Vl = V2-
Более общо, говорят, что Ti параллельно2) Ть если направляющие пространства Vi9 V2 многообразий Ти F2 удовлетворяют включению V\ cz V2.
Можно проверить, что отношение «Fi вполне параллельно (соотв. параллельно) T2» равносильно существованию трансляции т пространства S9 такой, 4TOt(Fi) = F2 (COOTB-T(Fi)CzF2).
Аффинное подпространство, порожденное подмножеством X пространства S
> Предложение 3.6. Если X—непустое подмножество в S9 то существует единственное аффинное подпространство в S9 обозначаемое Aff (X), содержащее X и обладающее следующим свойством:
Любое аффинное подпространство S9 содержащее X9 содержит и Aff (X).
*) В оригинале «fortement paralleles» («сильно параллельны»).— Прим. перев.
2) В оригинале «faiblement parallele» («слабо параллельно»).— Прим. перев,
3. линейные аффинные многообразия
9І
Говорят, что Aff (X) порождено X.
Коротким способом доказательства предложен ния 3.6 является применение предложения 3.3: Aff (X) есть пересечение всех ЛАМ, содержащих X. Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство «всех ЛАМ, содержащих X», о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в X начальной точки Л, что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в Sa1 содержащего X (поскольку ЛАМ, содержащие Ху являются ВПП в S). Таким образом, Aff (X) есть ВПП в Sa, порожденное Х\ при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки А в X. Если мы заметим, что направляющее подпространство для Aff(X) есть ВПП
в Е, порожденное векторами (АМ)М^Х9 то получим также
Предложение 3.7. Пусть X — непустое подмножество в S] для каждой точки ЛєІ положим
VA = Vect (АМ)М ^x. Тогда векторное пространство VА
не зависит от выбора А и Aff (X) есть ЛАМ, проходящее через А с направлением Va-
Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если X = {Л0, Аи An} — конечное множество, то векторное пространство Vt =
= Vect (A1A})} ф t не зависит от і и, следовательно, совпадает с
