Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Понятно, что для коммутативной группы G оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2. Пусть группа G действует слева на множестве X с законом действия <р. Говорят, что G действует на X транзитивно, если для любой пары (х, у) элементов X существует хотя бы один элемент, g^G, такой, что у = q>(g, х) = уё(х); далее, говорят, что действие G просто транзитивно, если этот элемент g всегда единственный.
Пример. Линейная группа GL(п, R) автоморфизм мов Rn действует транзитивно на R"\{0}, но это действие не является просто транзитивным, кроме случая /г=1.
Определение 1.3. Пусть группа G действует слева на множестве X. Стабилизатором подмножества Л множества X называется множество Ga= {g G
Непосредственно ясно, что Ga — подгруппа группы G. Если множество А состоит из одного элемента а, то эта подгруппа 1J называется группой изотропии элемента а.
Замечание. Стабилизатор GA является пересечением двух множеств G^ = {g е G | qpg (А) с= Л} и G~ = = {g^G\q>g(A) =D A)={g<=G\q>~l(A)czA}, которые не обязаны быть подгруппами G. Например, если
" ї. введение
83
G = (R, +) действует на себе трансляциями и А =* B=R+ — положительная полуось, то Gl=R+ не является подгруппой, a GA = (O}. По поводу Gl см. упр. ПІЛ.
Определение 1.4. Пусть G —группа, действующая слева на X; орбитой элемента аєі называется образ G при отображении фа: ->ф(§, а).
Если G действует на X транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с X.
Замечание. На X можно определить отношение эквивалентности, полагая у =з х, если существует элемент gE G, такой, что у = фя(^); классы эквивалентности являются орбитами элементов Х\ фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.
Однородные пространства
Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой G, называется множество X, на котором определено транзитивное действие группы G.
Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе 1).
Пусть G — группа, H — ее подгруппа, G/H — фактормножество2), образованное левыми смежными классами относительно Н: элементы х, у из G объявляются эквивалентными, если существует элемент аеЯ, такой, что у = xh; класс эквивалентности элемента X есть множество хН элементов вида xh, где А є Я.
Действие слева группы G на G/H определяется с помощью tyg(xH) = gxH\ это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество G/H является однородным пространством относительно этого действия.
1) Это построение использовалось при определении фактор* пространства векторного пространства по его подпространству,
2) Напомним, что GjH допускает естественную структуру группы, если H — инвариантная подгруппа G,
84 гл. иг. структура аффинного пространства над телом
Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.
Теорема 1.1. Пусть X — однородное пространство, ассоциированное с группой G, и для любого аєі пусть Ga — группа изотропии а. Тогда существует единственная биекция fa факторпространства G/Ga на X9 такая, что для всех g є G выполнено fa °p(g) = = Ф гДе P- G-*- G/Ga — каноническая проекция
и ф — действие G на X.
Доказательство. Соотношение qp(gr, a) = q)(g, а) равносильно (p(g"lgff а)== а и, значит, g~lg' ^Ga или P(S^ = P(S)* следовательно, отображение фа: G-^X9 gy-xp(g, а) переносится на фактормножество и представляется в виде фа = /аор, где fa: G/Ga->X — биекция. ?
Специальный случай
Если группа G действует на X просто транзитивно, то группы изотропии Ga тривиальны; для каждой точки а є X отображение фа: G-+X, gi—><p(g, а) является биекцией, удовлетворяющей условию <ра(е)=а.
> Эта биекция фа позволяет перенести на X структуру группы G, которая, однако, будет зависеть от выбора точки а, т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, X допускает структуру группы, изо-морфной G, при произвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять дело в случае «аффинной структуры».
2. аффинные пространства
> Определение 2.1, Пусть E — векторное пространство над произвольным телом К. Аффинным пространством, ассоциированным с E9 называется множество S9 на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы (E9 4-). Это действие записывается обычно в виде
? X ^'-+^9 (и9 х) ь-* X + U0
2. аффинные пространства
85
Для любого це? биекция хи\ S-+S9 хн-^х + ц называется трансляцией на вектор и\ далее, для каждой пары а9 Ь элементов S единственный вектор U9 такой, что Ь = %и{а), обозначается ab.
В дальнейшем, по соображениям типографского характера, мы будем избегать употребления стрелок для обозначения векторов. Чтобы отличать элементы S (называемые точками) от элементов E (называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать «точки» прописными буквами латинского алфавита, такими, как A9 B9 M9 а «векторы» — строчными, например а9 U9 V9 греческие буквы предназначаются для «скаляров».
