Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Тогда существует единственное полуаффинное отображение f пространства ff в (F9 ассоциированное с изоморфизмом 0, такое, что f(Ai) = Bt для всех і є I.
Более того, / биективно (соотв. инъективно, сюръ-ективно) тогда и только тогда, когда семейство (Bi)1 є j есть аффинный репер (соотв. свободное семейство, семейство образующих) для SF.
Доказательство. Вернемся к теореме II. 4.5, взяв одну из точек Ai в качестве начала в ff, а соответствующую точку Bi — в 3F\ отображение f определяется равенством
для любого конечного подмножества / cz / и любой
^ В частности, аффинное отображение ff в 2F определяется заданием образа аффинного репера из ff.
Приложение: уравнения аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в § II. 6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть ff — аффинное пространство над телом К. Тогда
а) Если /: ff-*/С— непостоянное аффинное отображение, то f-1 (Q) — аффинная гиперплоскость в ff с направлением KerL(f).
системы скаляров (X1)
таких, что, Y X1=I. ?
4*
oo гл. iii. структура аффинного пространства над телом
Ь) Обратно, если Ж — аффинная гиперплоскость в то существует аффинное отображение f: & -+К, такое, что Ж = f~l (O)1 и все аффинные отображения 8 в К с этим свойством суть отображения fk: х н-> f (х) kt где k є К*.
Если S — аффинное пространство конечной размерности л, то каждое ЛАМ размерности р в S определяется системой уравнений вида fi(x) = 0 (1 ^ і ^ ^ л — р), где /« — аффинные отображения S в /С, линейные части которых независимы.
Характеризация аффинных отображений
> Теорема 5.4. Пусть S1 — два аффинных пространства над одним и тем же телом К- Для того чтобы отображение /: $ -+2F было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
a) при К Ф Z/2Z
(V (A1 B1 X) єе S X S X Ю / ((1 - X) А + XB) = (1 - Я) f (A) + Xf (В);
b) при /C = Z/2Z образ эквибарицентра любых трех точек S был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8).
а) При фиксированной точке A^S соотношение
а) показывает, что для любого вектора и== AB направляющего пространства E имеем
f{A + Xu) = f ((1 - X) A + XB) = f (A) + Xf (A) f (А + и).
Отображение ф: и н-> / (A) f (А + и) удовлетворяет, следовательно, условию Cp(Xu) = Хер (и).
Чтобы доказать, что выполняется и условие <р(и + v) = ф(и) + ф(v) для любых (и, V)^EXE1 выберем такие B1 C1 что AB = U1 AC = V и Я є /С \ {0, 1}, определим точки ZJ', С' условиями AB' = X~lu, AC = = (\—X)~xv. Применяя условие а), получим тогда f(A +и+ V) = f(XB' + (1 - X)C) = Xf (B') + (l - W(C)9
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 101
откуда
<р(и + V) = Яф(А80 + (1 - Я)ф(ЛС') =
= ЯФ(Я-^) + (1 —Я)ф((1 -Я)"1 о) = ф(и) + ф(о).
Рассмотрение случая Ь) предоставляется читателю (упр. III. 7). ?
Можно также сформулировать теорему 5.4 так: отображение S в ST является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в S аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений (§ 9).
Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений
^ Теорема 5.5. Если f: & -> S — полуаффинное отоб-бражение и множество /(f)= {M ^ S\f(M) = M) его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством I(L(f)) =Ker(L(/) — — IcU), состоящим из неподвижных элементов отображения L(f).
С другой стороны, если S конечномерно и L(f) не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то / имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство. Если фиксировать Точку A^S9
-_> -->
условие f (M)== M равносильно f (A) f (M) = f (A) M и,
—> —> -->
значит, условию ф (AM) — AM = / (А) А, где ф = ?(/).
• Если А — неподвижная точка f, то 1(f) равносильно AM Кег (ф — IdE), откуда вытекает первое утверждение.
• Если Кег(ф —¦ ЫЕ) = {0}, то отображение ф—•Id5 инъективно и потому в случае конечной размерности E биективно; в S существует единственная точка M9
—> —> ->
такая, что ф (AM) — AM = f (A) A9 откуда следует второе утверждение. ?
102 гл. iii. структура аффинного пространства над телом
> Важное замечание. Если /: S ^>S — произвольное отображение и g: S -> У — биекция, то l(g°f°g~1) — = *(/(/)).
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы
Если /: <§\-+&2 и g: S2-^Sz— два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то g°f также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и L(g °/) = L(g) о L(f). Отсюда выводится
Теорема 5.6. Пусть S — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции S на S образуют группу, которую мы обозначаем GA(S) (соотв. GSA(^5)). Отображение L (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм GA(S) на GL(E) и GSA(S) на группу GSL(Z;) полулинейных биекции E на Е.
Наконец, для любой точки P в S ограничение L на группу изотропии точки P в GA(S) (соотв. GSA(^T)) является изоморфизмом этой группы на GL(E) (соотв. GSL(?)).
