Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
*-Уо=/(-г0)<.г-дг„). (5.5)
5.1.6. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного
Приведем без доказательства одЕгу из основных теорем дифференциального исчисления.
Теорема 5.2. Если функции и (лг) и г.* (г) дифференцируемы в точке лг, то сумма (разность), произведение и частное отих функции (частное ггрн условии V (х) * 0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы;
(U±P)' =U' ±V'. (Hfl)' =tf'p + ІЮ', f-| = UV~UV' . (5.6)
5.1. Дифференцирование 101
5.1.7. Таблица производных простейших элементарных функций
Производные всех простейших элементарных функций можно свести в следующую таблицу.
1. (C) = O. где С- постоянное число:
lV 1 . г-„ 1
[[. Or")' = а.х"'в частности ^-j = - -^-. (•Jx)'
1 1
III. (log„ д')' = - Iog0 е, R частности, (In .г)' = —,
л" X
IV. (я1)' = ст' In л. я частности, (е*)' = (?.
V. (sin .v)' = cos.v.
VI. (cus.i')' = -sin x.
VIL. <t.E,r)' = —[—.
COS .V
VIII. (clg.r)' = —~.
sin X
IX. (aresin x)' = '
X- (arccus-V)' = Xi. (arclg.v)' =
і
1
XII. (armg.t )'----¦—
1 + x1
Формулы, приведенные в таблице вместе с правилами дифференцирования (теорема 5.2), являются основными формулами дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.
5.1.8, Дифференцирование сложной функции
Теорема 5.3. Пусть функция х = ф (г) имеет производную в точке ^ а функция у—/(х) имеет производную в соответствующей точке
102 Глава 5. Основы дифференциального исчисления
Jt0 = ф (?). Тогда сложная функция / |ф (O] имеет производную в точке гй и справедлива следующая формула:
*'<'«> = 4u , =/'C-V11V (^)- (5.7)
В теореме 5.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где J зависит от і через промежуточную переменную .v. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточными переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если у - (a), X = ф (h),w = 4'(0>tu производнаяy'(t) вычисляется по формуле
у' U)^y1 (.*) ф' (и) и/ (О- (5.8)
Рассмотрим несколько примеров па дифференцирование сложной функции.
Пример І. Найти производную функцию у = Ig (Xі). Решение. Эту функцию можно представить чере;* промежуточную переменную и как у = tg м. и =х*. Тогда но формула (5.7) имеем:
tt'(x) = >/ (и)и' (X) = —— 2х Ъ'
COS' и cos2 (.г2)
Пример 2. Найти производную функцию // = е'в и.
Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = е", It = V1, E' = да, w = 4x. Применяя правило (5.8) дифференцирования сложной функции, последовательно получаем:
у '(X) = у'(U)Ii'(V)V'(w)w\x) =е" 2IiW)CXwW(X) = cos; V cos" ix
Прнмер 3. Найти угол наклона к оси Од касательной к графику функции у - e-_,i"11 + tg -Іх в точке X = 0.
Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как
у = е" + Ig а, и = -№, w = sin г, г = Зт, а = \х.
Применяя правила дифференцирования суммы функции н сложных функций, получаем:
у'(х) = e"u'(w)u'(z)z'(x) + —L—а'(лг) =
COS" ОС
= є" (-1) cos z • 3 + —4г- = -3 - cos 3r ¦ е - -"11 + —i—.
cos a CDs ix
Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси О.т при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него .г= 0:
tg ф = г/'ф) -=-3-1-1 + *=-3+4 = 1 откуда ф - arctg 1 = 45е.
5.2. Дифференциал функции
5.2.1. Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 4. Дифференциалом функции у -f (х) в точке Jt0 называется главная линейная относительно Axчасть приращения функции в этой точке;
ф=/(x0)Ar. (5.9)
Так как дифференциал dx независимой переменной х является приращением Ax этой переменной, то соотношение (5.9) принимает вид
dy^fixjdx. (5.10)
Из равенства (5.10) производную / (.г) в любой точке j: можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx.
ПХ) = %- <5-11)
Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 5.3), Точка M на графике функции у - j (х) соответствует значению аргумента .V0, точка Лт — значению аргумента х0 + Ax1 MS — касательная к кривой /(х) в точке At, ф — угол между касательной и осью Одг. Тогда MA - приращение аргумента, AN- соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник АВМ. получаем, что AB = Ax tg ф = / (xQ)Ajr = dy, т. е. это главная по порядку значения Дд- и линейная относительно нее часть приращения функции Ay. Оставшаяся часть, более высокого порядка малости, соответствует отрезку BN.
104 Глава 5. Основы дифференциального исчисления
у
J/ = л*)
Рис. 5.3. Геометрический смысл дифференциала
5.2.2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал:
