Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Абсолютная погрешность от такой замены является, как следует из рис. 5.3, при х—> 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Лг. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (5.9) и выражение для Лгу, получаем:
Формула (5.12) является основной в приближенных вычислениях. Пример 4. Вычислить приближенное значение корпя -Д07.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = хЛл в окрестности точки хй = 1. Поскольку производная этой функции вычисляется по формуле
/'(jt)-— ,то, принимая Дг=0,07, получаем из формулы (5.12): 2.V
/(1 + 0,07) = VW07 = /(1) + /'(1)0,07 =10035.
5.3. Понятие производной п-го порядка
Производная / (х) функции /(х) сама является функцией аргумента д", и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной-Производная от первой производной некоторой функции y=f(х) на-
Дг/ = dy.
f(xu + Ax)»f(xQ) + f'(xa)Ax.
(5.12)
5.3. Понятие производной п-го порядка 105
зывается второй производной, или производной второго порядка, этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные, начиная со второй, каэываются производными высших порядков. Для обозначения используют символы: //". у"'. у(*'. у'л\ .... if"' (для второй и третьей пропзпчдчых соответственно еще H у1^ и ;/'*') пли вместо у пишут /(л): f" (.г), /"' (я), f}(х), Производная пто порядка определяется, таким образом, как производная от производной (п -1 )т« порядка: yw = (У" ")'.
Рассмотрим несколько примеров па вычисление производных высших порядков.
Пример 5. Найти производную второго порядка от функции _у = .г3 * 2,v.
Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:
у' = 'ix2 + 2, у" = Ох.
Пример 6. Найти производную второго порядка от функции у = е*'. Сначала находим первую производную сложной функции:
у' = -2хе'Л'.
Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:
у' =-2«-' +4х*еТ' =2*?т?(2.ії -1).
Пример 7. Найти производную третьего порядка от функции
у = X In х. Решение. Последовательно находим:
У = In Jf + 1, у" = Х/х, у"' = - Mx2. .
Пример 8. Найти производную п-го порядка от функции у = еъ. Находим:
у' = 2Л у" = Ae2*,
т. е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функции сомножитель 2. Отсюда получаем:
S- 1122
106 Глава 5. Основы дифференциального исчисления
В заключение приведем формулы для вычисления производных п-го порядка для функций sin* и cos х. Нетрудно убедиться, что
I 2
5іп"° X =5іп jf + и - і cos'"' -г = cos X +
Упражнения
Найти производные функций.
5.1. у=х' + Зх2 - 2х+ 1. 5.2. у = 5х7 + Зх1 - Ax- 1. 5.3. у = 1 + V^1
X
5Л,у=^ + ±-\ + х\5.5.ц =^ + 4--л-2.
5.6. + 2 sin л- + 5 tg.v. 5.7. .у = ^ -Ах6 + 2 tn.v -ctg лг.
5.8. гу = loga л: - 31Og3-i-. 5.9. у = .V + arctg аг - arcsin Jr.
5.10. .у = 5' +6T + jlj .5.1Ly=Jr1IgJf. 5.12. г/=\?Чпх.
і 6
543. у - —== + -== + .гатссоз x. 5Л4. r/ = aj 1ое>х- e*te x
,. ir. .т? + 1 - іп.г „ел ¦Jx
0.15. г/ = —;-.5.16. у = ——¦ + itgjc.5.17. у =
----„.^ j—
-1 cos-г V-v +1
tie TIgJf - 1 + e' _ „- COSJT
5.18. у = —-~. 5.19. tf ~-. 5.20. и =-.
5.21. ^ = x1 найти / (2) -/(-2).
5.22. у = xIn r, найти /(1), /Че),/(1/е),/(1/е2).
5.23. у = sin 4г. 5.24. у = cos (.ґ* - 2д- + 1), 5.25. у = sinlv. 5.26. у = V2.r-siiix. 5.27. у = tg* х. 5.28. у = Ін(л-' +VT).
5.29. г/ = arete—. 5.30. у = In In х. 5.31. ы = arcsin — .
5.32. у =arctg2 1.5.33. у = <r,ln-v. 5.34. # = iV sin д. 5.35. іу-д'. 5.36. # = jc™-r.
Упражнения 107
Составить уравнения касательных к графикам функций.
5.37. Ij = X2H точке M (1, 1). 5.38. у = In х в точке M (1. 0). 5.39. у = в точке пересечения с осью Oy.
5.40. Найти угол наклона к оси Ox касательной к гиперболе у- 1/х в точке Af (1, 1).
5.41. Найти приближенное приращение функции у = .г, если х=2 и Av = O1Ol.
5.42. С помощью дифференциалов найти приближенные значения: а) хЩ; б) VW; е) •VTe; г) 1? л) V33.
Найти производные второго порядка от функции.
5.43. у = tgA'. 5,44, у - sin-л. 5.45. у = е"'. 5.46. у = .vsin .г.
5.47. и =---.
Л' -1
Найти производные третьего порядка от функций.
5.48. у = хе~\ 5.49. y = (?r sin х. 5.50. у = .т In х. Найти производные н-го порядка oi функций.
5.51. у= In*. 5.52. jy = ь.їп Zr. 5.53. .у = 3J. 5.54. у = х* lux. 5.55. у = X cos х. 5.56. t/ = гУ.
Глава 6
Приложения аппарата производных
6.1. Раскрытие неопределенностей 6.1.1. Правило Лопиталя
/7 г)
Будем говорить, что отношение двух функции-при .т -» а есть нс-
U
определенность види -, если
lim/(.v) = limg(.v)-0.
Теорема 6.1 (правило Лопиталя1). Пусть функции /(л) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, пусть также Ііт/(лг) = limg(.r) = 0, причем (.г) * 0 в указанной окрестности точки
а. Тогда, если существует предел отношения lim¦ (конечный или
