Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Действия над непрерывными в точке функциями определяются следующей фундаментальной теоремой.
Теорема 4.6. Пусть функции/(.г) и g (.г) непрерывны в точке а. Тогда функции f{x)±g(x),f (x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в точке u (частное при условии g(a) ф 0).
4.3.2. Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция /(л) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно, lim/(.v)= C = /(а), что соответству-
i -+г?
ет определению непрерывности функции и точке.
Функция/(х) =л" непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в гичке а равен ее значению в этой точке: lim/(jf) = а =/(я).
¦т-ю
Из сказанного ранее и теоремы 4.6 следует, что в любой точке числовой прямой функции л2 = -*!', г1 = лґїї, .... Xя = х"~* (п — натуральное число) непрерывны.
Алгебраический многочлен
Р{х) = а^ + atx" 1 + O9T" 2+... + я„
86 Глава А. Функции одной переменной
также является непрерывной функцией в любой точке числовой прямой а силу теоремы 4,6, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.
G силу теоремы 4.6 дробно-рациональная функция
A(x)
ас*)
где Pix) и Q(х) — алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя.
Тригонометрические функции sin Xи cos X непрерывны в любой точке X числовой прямой, это следует из определения 7.
Непрерывность функций Щ X = sin x/cos X и sec X= 1/cosx соблюдается во всех точках, х * л/2 + пи; аналогично непрерывность функции ctg х=соъ x/sin x и cosec x= 1 /sin X обеспечена во всех точках п ф пи (л = 0, ±1, ±2...).
Рассмотренные ранее функции (они относятся к классу элементарных функций) непрерывны в каждой точке, а окрестности которой они определены, В силу теоремы 4.6 функции, получаемые из них при использовании конечного числа арифметических операций, являются также непрерывными.
4.3.3. Непрерывность функции на интервале и отрезке
Говорят, что функция /(.y) непрерывна в интервале (а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция/(х) непрерывна на отрезке [а, і], если она непрерывна в интервале (а, Ь) и непрерывна в точке а справа, а в точке Ь слева:
lim/(x)-/(o), lira/(.г) =/(А).
д~—ш+ х-* а -
4.3.4. Классификация точек разрыва функции
Точки разрыва, в которых функция пе является непрерывной, классифицируется следующим образом,
1. Точка а называется тонкой устранимого разрыва функции /(х), если предел функции в зтой точке существует, но в точке а функция /(х) либо не определена, либо ее значение/(а) не равно пределу в этой точке.
Пример 20. Функция /'(х)=^^ в точке х~0, как известно, имеет
.г
предел, равный единице (первый замечательный предел). Однако в самой точке .T = O эта функция не определена, т. е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устранить (потому он и называется устранимым), если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т. е. ввести новую функцию
?00 =
л- #0,
a-
і, x = а
Функция g (х) является непрерывной на всей числовой прямой,
2. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции /(х), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
lim f (х) * lim/(je).
Пример 21. Рассмотрим функцию/(.г) = sign х (см. примеры 3 и 10). Для нее точка д = 0 является точкой разрыва 1 -го рола.
3. Точка а называется точкой разрыва 2-го рода функции /(х), если в этой точке функция / (_т) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример 22. Для функции f (х)= 1 /х точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, поскольку lim(l/x) = +?», 1іт(1/х) =
Пример 23. Для функции/(.t) = sin (1/де) точках = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует:
4.3.5. Понятие сложной функции
Определение 9. Если на некотором промежутке X определена функция Z= ф (х) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у=/(z), то функция у =/|ф (х)1 называется сложной функцией от X (или суперпозицией функций), а переменная г — промежуточной переменной сложной функции.
Приведем примеры сложных функций.
Пример 23. у = cos (Vl-a")- сложная функция, определенная на полу бескопечном интервале (-оо, 1], так как y=/(z) = cos z,z = <$ (х) = = Vlx.
68 Глава 4. Функции одной переменной
Пример 24.;/ =
— сложная функция, определенная на полу-
бесконечных интервалам (-?, 0) и (0, +<*), так как у= J(z) = zVi. 7 = ф(д) = (1 + х)/х.
Теорема 4.7. Пусть функция z = ф (х) непрерывна в точке х0, а функция y = f(z) непрерывна в точке z„ = ф (jr„). Тогда сложная функция 1/=/|ф(т>] непрерывна ъточке.vD.
Пример 25. Функция у - Ig (д~ + .т) непрерывна в точке .г = 0, так как функция Z = X1 + X непрерывна а точке х = 0, а функция у = Щг непрерывна в точке Z = O.
4.4. Элементы аналитической геометрии на плоскости
Аналитическая геометрия представляет собой раздел геометрии, в котором геометрические объекты исследуются методами алгебры на основе метода координат. Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии (кривой). Аналитическая геометрия решает две взаимно обратные задачи: по заданным геометрическим свойствам кривой требуется составить ее уравнение в заданной системе координат; по изданному уравнению кривой требуется выяснить ее геометрические свойства (форму).
