Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Окалывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это дает возможность наглядного геометрического изображения вещественных чисел на числовой осн. На прямой нужно выбрать точку О начала отсчета, укапать направление отсчета (обычно
S-1222
66 Глава 3. Множества вещественных чисел
слева направо) и единицу измерения или масштаб (рис. 3.1). Эти три действия полностью определяют числовую (координатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек.
"о " M
Рис. 3.1. Числовая ось
Пусть А - произвольная точка на этой оси. Поставим єн в соответствие число .v, равное по величине длине отрезка OA со .знаком +, если точка Л находится справа от начала отсчета, или со знаком -, если точка А расположена слева от точки 0. Тогда число лг называется координатой точки А. Справедливо обратное утверждение: каждому вещественному числу л- соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна _г.
Укажем некоторые наиболее часто используемые числовые множества. Пусть я и А — два числа, причем а < Ь. Используем следующие обозначения:
1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а < х S Ь. называется отрезком (сегментом) (о, А];
2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству а < х< b , называется интервалом (д, Ь);
3) множество всех вещественных (действительных) чисел будем обозначать - по <Д"< оо или (- оо, оо);
4) аналогично можно определить числовые множества типа
(a, b\, \а, Ь), (а. +¦ то), (-со, Ь), [а, + *>) и (-¦*>, Ь].
Все эти множества называются промежутками: промежутки типов і и 2 и первые два из п, 4 называются конечными, а числа а. и b их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 также называются полуинтервалами.
Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент \а. Ь'\ изображается отрезком M1M1 таким, что точка M1 имеет координату а, точка M1 — координату Ь. Вся коорд]шатная прямая является изображением множества всех вещественных чисел, и потому множество (- со, со) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.
3.2. Числовые последовательности 67
3.1.3. Абсолютная величина числа
Приведем определение абсолютной величины вещественного числа X (модуля числа):
[-X, если X <0.
Отсюда следует ряд свойств абсолютной величины, который мы приводим (доказательства этих свойств мы опускаем):
1. |.т|>0.
2. 1*1 = 1-*!.
3. -|дг|<.г<|д-|.
4. Пусть а — положительное число. Тогда неравенства и -а<х<а равносильны.
5. Для любых двух действительных чисел Jt: и у справедливо неравенство
|г+ту]<|лг| + |^|. (3.2)
В это свойство можно включить также и другое неравенство:
\х-у\<\х\+\у\. (3.3)
6. Для любых двух действительных чисел X и у справедливо неравенство
\х-у\>\х\-\у\. (3.4)
3.2. Числовые последовательности
3.2.1. Числовые последовательности и операции над ними
Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей: последовательность всех членов арифметической и геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений 42 (.t1 = 1, X2 = 1,4, .V3= 1,41...), последовательность периметров правильных л-угольников, вписанных в данную окружность.
Определение 1. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2,3,....«... поставлено в соответствие вещественное число х,„ то множество вещественных чисел
5-
называется числовой пасле.дотшлытсшю иди просто носледовагель-н остью.
Числа .г,, х,, ¦V;.......v„... называются ллемрнпниш, или члеиплш, посдедо-
натслмности (3.j). символ .v1 — общим элементом, пли членим, последовательности, а число /; — сто номером. Сокращенно последовательность (3.5) нулем обозначать символом {хЛ. Так. символ (LZn} обозначает последовательность чисел
і і і А
*' 'Ї 3' "" п "'
Иод последовательностью можно понимать бесконечное множество Пронумерованных элементов. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого се элемента. Например, формула л:,, = 1 + ( 1)" определяет последовательность 0, 2, 0. 2...
3.2.2. Сходящиеся последовательности
Определение 2. Число а называется гнэег^'лшг тпгдоаателлюсти Ir,,}, если для любого положительного числа і: г;, шествует такой помер Лг, что при всех п > N выполняется пера пе не і но
] fr -я|<ь (.16)
Последовательность, имекмцая предел, ішміиичої сходящейся. Рели последовательность имеет своим предел ¦m чт.ю а, то это записывается так:
lim.і,. = а п;ш лн -> а н|Ч1 п у -г.. (3.7)
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Определение 3. Последовательность, имеющая своим пределом пуль (a ^ O)1 называется бесконечно малой послейовагпелыюстью, где а,, — элемент бесконечно малой последовательности {а^ (рис. 3.2).
i-... ¦ і-•-.-«-ш-
1/1 і/з i/a 1
Рис. 3.2. Пример Бксшнечна наглй последовательности
