Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида
Ураинсние (4.10) определяет (задает) линию L в системе координат Одт/. Вообще пнюря, линии на координатной плоскости .Могут быть самыми различными.
4.4.1. Линии первого порядка
К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение (4.10) содержит переменные х и у только в первой степени, Иными словами, такие линии описываются уравнениями вида
где A. Ii и С — постоянные числа. Из этот уравнения можно выразить переменную у как функцию от аргумента х при В * 0:
F(X у) = і).
(4.10)
Ay + By + С=0,
(4.И)
4.4. Элементы аналитической геометрии на плоскости В9
Sf ^ Ы Ь. (4.12)
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k = Lg ф. еле ф — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.
В этом разделе мы определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости,
1. Кроме «классического» уравнения прямой (4.12) следует знать еще три его разновидности. Первая на них — это уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом і, проходящей через заданную точку Mn (Xn, уй):
у -уи--к(х -хй). (4.13)
Другой вид - это уравнение прямой, проходящей через две заданные на плоскости точки Mn (.vp. ^n) и M1 (X1, г/,):
У-Уо =^-^U-.Tfl). (4.14)
Третий вид — это уравнения прямой в параметрической форме. Они следуют из уравнения (4.14):
у-у6 _-LUUL = f, ИЛ5)
.Vi -ул
где равные отношения обозначены параметром L 2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями у = А,лг + 6| и у-к^с + Ьъ где ?|=tg <р, и &> = ig Фз- Пусть
LK ф,, - te ф.
Ф = Ф- - ф,, и мы получаем, что tg ф = Е8(ф., -ф,) = ————:—- . или,
1 + tg q>,tg ф,
что то же самое,
tS<P=-^L. (4.16)
1 У «,fr2
Формула (4.16) определяет один из углов между пересекающимися прямыми: второй усол равен тг-ф (рис. 4.4). Из (4.IG) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые параллельны, то
если прямые перпендикулярны, то ф-j = п/2 + ф|, откуда Vg ф2 = -ctg ф( = = -l/rg9,, или окончательно
90 Глава 4. Функции одной переменной
У1
0
Рис. 4.4. Угол между прямыми
Пример 26. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями у = 'Ix - 5 и у = -За* = 4.
Подставляя в формулу (4.16) значения kt = 1 и А., = -3, имеем:
bV 1-G откуда один из углов равен ф = тт/4-
3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая задана уравнением общего вида (4.U). Тогда расстояние dот произвольной точки Af11 (хй, г/о) яо прямой (рис. 4.5) дается формулой
«MzLt0 + Byb +C\/yJA7 + В2 .
4.4 Элементы аналитической геометрии на плоскости 91
4.4.2. Линии второго порядка
Рассмотрим здесь три наиболее используемых вида линии: эллипс, гиперболу и параболу.
1. Эллипс. Линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, называется жіипсом. Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки M на этой линии до его фокусов Fx и F2 постоянна (рис. 4.6):
ь
^_і ^
— —
-а V
filed) J,а *
-ь
Рис. 4.6. Эллипс г, + г, = 2(2,
Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его осноьной (канонической) форме:
(4.18)
где а и Ь — полуоси эллипса, Ьг - а1 - с2, точка 0 (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эллипса. Из уравнения (4.18) следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения является центром его симметрии.
Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутое™, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением
с
а
В частном случае, когда а = Ь, фокусы эллипса сливаются, т. е. с = О, имеем окружность радиуса а с центром в начале координат.
2. Гипербола. Гиперболой называется линия, для всех точек* которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фоку-
92 Глава 4 Функции одной переменной
сами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
На рис. 4.7 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной t(j4kii M на гиперболе до фокусом F1 и F3. согласно определению, есть величина постоянная:
I г, - HI = 2п.
Рие. 4.7. Гипеоболз
Из этой ochoihiofi предпосылки выводится каноническое уравнение т-пербипы. rtotopoe имеет вид
.J
1. (4.19)
iL
где Ь1 -
Прямые tf = ± — .\ являются наклонными асимптотами графика функ-а
цнп. Гипербола имеет две осп симметрии, точка пересечения которых, является центром ее Симметрии.
'Л. Парабола. Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей
через фокус (вертикальная прямая на расстоянии ^ слева от оси Oy и точка F на оси От.
Согласно определению, точка А/ (д. у) лежит па параболе, если г, = г2. Отсюда и выводится каноническое !/равнение параболы, которое имеет вид
