Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 7. Функция /(х) = С = const имеет предел в каждой точке числовой прямой. Действительно, любой последовательности (4.4), сходящейся к точке а, соответствует последовательность (4.5), состоящая из одного и того же числа С, откуда следует, что f(x„) —> С при п ос.
Пример 8. Функцня/ОО = J." в любой точке а числовой прямой имеет предел, равный а. Действительно, последовательности аргумента (4.4) и функции (4.5) в этом случае тождественны, и если последовательность {Xn) сходится к а, то и последовательность {/(хп)) также сходится к а.
х'1 -Lx + 2
Пример 9. ®vnKiuiH f(x) =-имеет в точке X - О предел, рав-
2х -1
ный -2. Действительно, пусть {хп\ — любая последовательность аргумента, сходящаяся к пулю, т. е, Um .Tn = O при я-»»; тогда в силу свойств последовательностей 1—9 (см. 3.2.3) имеем
4.2.2 Левый и правый пределы функции
Введем и в дальнейшем будем использовать понятия односторонних пределов функции: когда вся последовательность значений аргумента х„ -> а либо слева от точки а (левый предел), либо справа от нее (пра-
/(JTl). /(V2), /(JT3)..... /<*„)...
(4.5)
80 Глава 4. Функции одной переменной
вый предел), т. е. либодч < а, либод„ > а при всех п. Для правого (левого) предела функции используется символическая запись
Пример 10. Рассмотрим функцию / (д) = sign „v (п. 4.1.1, пример 3). В точке д- = 0 эта функция имеет левы» и правый пределы:
Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности {л„[, у котороП все элементы х„ < 0 (х\ > 0), соответствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа -1 ( + 1), т. е. предел слева (справа) в точке .v = 0 также равен этому числу.
Кроме понятия предела функции п точке, существует также и понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Для обозначения предела функции при д-юо используется символика
Приведем пример предела функции при дг-* «>. Пусть/(х) = 1/д, Эта функция имеет предел при х-* ас, равный нулю. Деист вите льни, если (4.4) — бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность (4.5) значений функции имеет вид 1/.Y1,1/.V;,1/д„...; она является бесконечно малой (см. 3.2), т. е, ее предел равен нулю, или и символической записи Li[Ii(I/*) =0-
4.2.3, Теоремы о пределах функций
В этом разделе мы укажем основные свойства пределов функции, сформулированные в виде теорем, доказательства которых опускаем.
Теорема 4.1, Функция /(д) имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, причем они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.
Теорема 4.2. Пусть фуіікцин/(д) и g (д) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции/(.v) ±g(x),f (x)g(x) и / (x)/g(x) (при В * 0) имеют о точке а пределы, равные, соответственно, А ± В, AB и А/В.
Заметим, что теорема 4.2 справедлива и в тех случаях, когда а является OO (+OO или -w).
lim .sign .г= - 1, lim sign x = l.
4.2. Предел функции 81
Зачастую вычисление пределов функции снизано с простыми приемами: разложением числителя и знаменателя на сомножители,делением числители и знаменателя на степень .v п т. д. Рассмотрим это на примерах.
л-' — .5 Jf + (Ї Пример П. Найти предел Hm-
Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подстановка предельного значения X= 2 з дробь под знаком предела приводит к неопределекностн вила -. Разложим квадратные трехчлены числителя и
знаменателя на сомножители и сократим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение JT = 2:
.. .г-5:г + 6 ,. (r-2)(.v-3) .. л-3 2-3 , ига—-= игл- =lim---= -1.
~а .г1 - Зт + 2 (x-2X-r -3) ^r-I 2-1 Пример 12. Найти предел Hm^*—^ .
Решение. В задачах такого типа следует разделить числитель и знаменатель на старшую степень х (в данном случае это просто х) и затем применить теорему 4.2 о переходе к пределу и числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем:
„ Ax+ 2 ,. 4 + 2Jx Jim(4+2/jf) 4 + \Щ2!х) 4 + 0
Um--= Inn-— = ---=-—---= 4
X+ 3 — 1+ Vx lim(l + Vx) 1 + ItmCVt) 1 + 0
тт „ „ . і. 2хг + j: + I Пример 13. Найти предел Um—---,
Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на .г1 (это старшая степень.г), после чего воспользуемся теоремой 4.2:
.. Zt- +х + \ .. 2'х + Цх1 +V.r3 0 + 0 + 0 0 Л Lim—-= Inn-=- - - = 0.
+х* +1 '-™ 1 + + 1/.т 1 + 0+0 1
Поясним также раскрытие неопределенности вида оо -да. Рассмотрим характерный пример.
Пример 14. Найти предел Hm(V-T + 3 --Jx).
Решение. Здесь следует умножить и разделить выражение под знаком предела на сопряженное выражение — в данном случае па
82 Глава 4. Функции одной переменной
(Jx + 3 + л/т), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степень х, в данном случае на Vr. Имеем;
Hm(V1.*' + 3 - Jx) = )im-x— ——=
+ з + ^1-
I- 3 і- 0 о
- hm--— = lim . =---= ¦¦¦__-—- =0.
