Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Jx +3 + Jx '-' Jl + 3/x + 1 Vl + 0 + 1
4.2.4. Два замечательных предела
В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложениях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.
Теорема 4.3. Предел функции ^11^. ц точке х= О существует и равен единице, т. е. х
Цт51^ =1. (Af,)
і-ю X
Предел (4.6) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других пределов. Рассмотрим несколько примеров его применения.
Пример 15. Найти предел функции sin (ах)/сх при х-* 0.
Решение. Преобразуем даннугю дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса; только тогда можно будет применить первый замечательный предел, поскольку при х~*0 пределом ах также является нуль. Получаем:
.. sm(ax) .. s\n(ax)a .. sin(or)i- а ,а а hm-—-—- = um—1—-- = lim —ltm - = 1- = -.
r-o ж x-ti ах с ш-П QX i-+d есс
Пример 16. Найти Hm-—со1_х
x—Q Y
Решение. Теорему 4.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при X —> 0 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:
.. 1-cos.r ,. 2s'm2(x/2) .. lfsin(j/2v
Іші-= lim- = hm- —5- =
ли X X 2\ xi2 j
4.2. Предел функции S3
1,. sin(.v/2).. sin(.v/2) 1 , . 1 = - lim— Hm—^—- = -11=-, 2'-о .v/2 '-о x/2 2 2
Теорема 4.4, (Второй замечательный предел). Предел функции
/(х) = ^l -I- — j при х -» ж существует и равен е, т. е.
¦я
Hm U- =е. (4.7)
Число е является одной из фундаментальных величин в математике. Показательная функция вида е™ называется экспонентой, логарифм с основанием є называется натуральным и обозначается символом In. В теории вероятностей и математической статистике функция е'г является основополагающей.
Рассмотрим примеры применения предела (4.7).
Пример 17. Найти Hm(I + 4/х)\
Решение. Заменим переменную, приняв х = Ay. При х —> =о и у —><к последовательно получаем:
Hm(H 4/л-Г" =Hm(l+l/iy)4i' = iim[(H 1/у)*Т =[]Im(l+ Цуу]' =e*. Пример 18. Найти lim(log.(i + х)/х).
Решение. Сначала преобразуем дробь под знаком предела, а затем пе-
1
реидем к пределу при X -> U с заменой у = —, у те;
X
цт]°Е-(1 + У) = 1
AlOg0(Hx)I = Hm loga(Hx)Vjr X I J-u
1 1
\о^\\Ш\ + хГ^\о^е = -^. г-й In я
4.2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 5. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х-а7 если предел ее в этой точке равен нулю: lim/fx) = 0.
r—ta
Аналогично определяются бесконечно малые функции при х-»», х—> + со, х—> аЛ и х—> а—,
84 Глава 4. Функции одной переменной
Теорема 4.5. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функции в точке а, как и произведение бесконечно малой и ограниченной функций, являются бесконечно малыми функциями я точке а.
Определение 0. Функция /(л) называется бесконечна большой функцией я точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {х„\ значений аргумента соответствующая последовательное тії {/(.v„)} значении функции является бесконечно большой.
В этом случае пишут 1іт/(.т) = « lim/(.v) =-ко или lim/(jf) = —да
н говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+ зо иди -ос-). Пи аналогии с конечными односторонними пределами определены п односторонние бесконечные пределы:
lim/(J.") =-ко, lim /СО = -ж. lim/<.т ) = +*'. lim/(.г) =
Аналогично определяются бесконечно большие функции при .V ->ос, .V-» foo, и д:—» —се.
Между бесконечно малыми п бесконечно большими функциям» существует та же связь, что и между соответствующими последовательностями, т. е. если а (.г) — бесконечно малая функция при .*¦—>¦ д, то /(.v) ¦¦- 1/а (х) — бесконечно большая функция, и наоборот.
4.3. Непрерывные функции 4.3.1. Непрерывность функции в точке
Понятие непрерывности функшш является фундаментальным в математике. Сформулируем его на языке последовательностей. Пусть функция f(x) определена в некоторое окрестности точки д.
Определение 7. Функция /(.г) называется непрерывной я точке а, если предел этой функции при х—у а равен ее значенню н этой точке:
Так как liin.v = а, то это равенство можно переписать 8 следующей
lim/(.i-) = /(a)
(4.8)
форме:
4.3. Непрерывные функции 85
Определение 8. Функция /(х) называется непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен ипачешпо функции и этой точке, т. е.
lim/(j:) = /(fl) IL-Hi /(a+ 0) =/(а),
і-» (4.9>
Пгв/(*) = /(«) или /(л-0) = /(я).
Если функция/(.г) непрерывна и тгг-ікея слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Точки, н которых функция не является непрерывной, называются тросами разрыва функции.
Рассмотрим пример точки, в которых функция не является непрерывной.
Пример 19. Функция/(.г) = sign .г (см. 4.1). Как было показало ранее, в точке X= 0 существуют левый и правый пределы этой функции, равные, еоответстпетю. -1 и +1. Сама же точка л~=0 яаляетея точкой разрыва функции, поскольку пределы слева и справа не раины значению / (0) = О,
