Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Неравенство (3.6) эквивалентно неравенствам (см. свойство А модуля чиста из 3.J)
? < і к - а < с п.ти а - с < .v, < a t- е.
3.2. Числовые последовательности 69
Э-jo означает, что при п > Л'нес элементы последовательности {х,\ находя кя и Ь'Окресттчлпт wyuiwfi пли в интервале (я е. а + е). причем номер Л'определяется ни величине с.
Приведем геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, то, если она сходится, н любой е-окрестности точки а на числовий прямой находится бесконечное число точек-аіементов этой последовательности, тогда как вне к-окрестности остается конечное число элементов. Поэтому предел посіло вате ль ногти часто называют точкой с/ущечши (рис. 3.3).
---і---------)--
Рис. 3.3 Точна сгущения
Нео/раниченния нпслткшннї.шіость ite. имеет конечно/о предела. Однако она может нмегг, бесконечный предел, что записывается п следующем виде:
lim-v„ - у=. {3A)
Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности ПОЛОЖИтеЛЬНЫ (ОТрИГГаТеЛЬНЫ), то П 11tiIVг
bmi\ = +'С ( lim.v = ).
Если {.vj - бесконечно малая последовательность, го | J/х„) — бесконечно большая последпиатслытость. имеющая бесконечный предел в смысле (3.S), и наоборот, если {хЛ — бесконечно малая последовательность, то {l/.v„| - бесконечно большая последовательность.
Приведем примеры сходящихся и расходящихся последовательностей'.
Пример 1. Покапать, используя определение предела ииследованмь-
пости, что inn-= L
Решение. Воаьмем любое число є>0. Так как|.т.-1
= --—, то для удовлетворения неравенству (З.б) достаточно решить ft + [
неравенство 1/(н + 1)<е, откуда получаем н>(1-е)/б. Примем
я + 1
70 Глава 3, Множества вещественных чисел
N = [(І-с)ДІ (целая часть числа (1 -е)/є)'. чтобы неравенство I .vn - 11 < с выполнялось при всех я > N.
Пример 2. Показать, что последовательность {„r„) = (-1)", пли -1, 1, -1, 1.... не имеет предела.
Решение. Действительно, какое бы число мы ни предположили в качестве предела, 1 или -1, при е<0,5 неравенство (3,6), определяюнц?е предел последовательности, не удовлетворяется: вне є-окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов Д"„ так как все элементы с нечетными номерами равны -1, а элементы с четными номерами равны 1.
3.2.3. Основные свойства сходящихся последовательностей
В этом разделе перечислены основные свойства сходящихся последовательностей, которые сформулированы в курсе высшей математики как соответствующие теоремы.
1. Если все элементы бесконечно малой последовательности \х„} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.
4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей (.Tn} и \у„\ есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {.v,,} и {у„}.
5. Произведение сходящихся последовательностей {х„} и \у„) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х„\ и {у„\.
6. Частное двух сходящихся последовательностей {х„} и \у„\при условии, что предел последовательности [уй) отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {.Tn} и (#,,}.
7. Если элементы сходящейся последовательности {Xn) удовлетворяют неравенству Tn > Ь (х„ < Ь) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а>Ь (alb).
' Uhmikui |п| означает целую часть числа а, т. (.'. наибольшее целое число, не преноехпдящееа. Например, |2| = 2, [2,5J = 2, [0,8] = 0, [-0,5] =-1, |-23,7| = -24.
3.2. Числовые последовательности 71
8. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности или числа есть бесконечно малая последовательность.
9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
'Заметим, что в силу свойства 4, если последовательность {.г„} имеет своим пределом число Cj1 то последовательность {а,,} = {х„ — а) есть бесконечно малая, так как любой элементу сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде
х„=а + ая. (3.9)
Рассмотрим применение этих свойств па примерах.
„ ой- т 2«* + 2п + А Пример 3. Найти предел Inn-.
— 4hj + n - З
Решение. При п -4 ос числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т. е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как теорема предполагает существование конечных пределов последовательностей. Преобразуем эту последовательность, разделив числитель и знаменатель па гг. Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно находим:
,. 2гс + 2п ¦ А ,. 2 + 21 п + 4/V ]™<2 + 2/71 + 4/'"') lim-;--= lim---— -— =
"-" in- +71-3 "^A + 1/п- 3/л Іітп(4 + Mn -3/V)
