Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
4.5. Приложения в экономике 93
График параболы пок;шн па рис 1.8. Нетрудно увидеть, что перемена oceii координат приводит к более привычному ш курса школьной математики уравнению параболы вида у = Air. где Л — постоянное ч нею.
гг —'
L-
0
Рис. 4.В. Параоола
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
Av2 + 2Вху + Су! +2Dx+2Ey+ F = KX (4.2І)
где /1, В, С. D, Е. F- произвольные действительные числа, причем хотя бы одно из чисел Л, В или С не равно нулю. Уравнение (4.21) определяет следующие питы кривых:
— эллиптического типа, если ЛС Ii1 > 0:
— гиперболического типа, если AC - В~ < 0;
— параболического сипа, если ЛС- В' = 0.
4.5. Приложения в экономике
4.5.1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия
Рассмотрим зависимости- спроса D (demand) л предложения S (supply) от цены па тоїчір /' (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от P имеет вид ниспадающей1 лини», например прямой:
U = -aP+c. а>0. с>0. (4.22)
R свою очередь, предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость Jot P имеют следующую характерную форму:
94 Глава 4. Функции одной переменной
S=bP^d, й>0. d>0, (4..23)
В формулах (4.22) и (4.23) а, Ь, с и ?/ — так называемые экзогенные величины; они зависят от ряда других причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т, п.). Переменные, входящие в формулы (4.22) и (4.23). положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.
Для экономики представляет интерес условие равновесия, т. е. равенство спроса и предложения; это условие дается уравнением
D(P) = S(P) (4.24)
її соотиетстиует точке M пересечения кривых DuS- это так называемая точка равновесия (рис. 4.9). Цена P0, при которой выполнено это условие, называется равновесной.
Pd P
Рис. 4.9. Точка равновесия
При увеличении благосостояния населешш, что соответствует росту велігчиньї с в формуле (4.22). точка равновесия M смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена товара растет при неизменной кривой предложения S.
4.5.2. Паутинная модель рынка
Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая торг между производителем и покупателем (рис. 4.10).
Пусть сначала цену P-, называет производитель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естест-
Упражнения 95
венно, всякий производитель стремится получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос Dx при этой цене и определяет свою Цену P2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена P2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешевле). В свою очередь, производитель оценивает спрос Di, соответствующий цене P1, и определяет свою цену Pj, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т. е. к «скручиванию» спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Pt) (рис. 4.10, а). Следует заметить, что в данной схеме спираль торга скручивается, если h < а. В противном случае имеет место либо циркулирование по замкнутому циклу (Ь = а, рис. 4.10, 6), либо «рас круч иванис* спирали и уход от равновесной цены (Ь < а, рис, 4.10, в).
Рг РоРз Pi P Рг Po Pi P Pi Po Pi P
а. 6 в
Рис, 4.10. Пайс* равновесной цены
Упражнения
Найти область определения функций, заданных формулами. АЛ.у = Зх-2. 4.2.0 = ^-5^+6. 4.3. у =2^^.4.4.^ =т/9-лЛ
4.5. у = 7*-3-Vj:+ 3.4.6. у = уУ-З + —і— Л 7 у = vV -4т +3.
Va- -6
4.8. v = У J' +4* 3.4.9. у = .•^ + COS Ir. 4.10. у = arctg (2* + 1).
4 - л
96 Глава 4. Функции одной переменной
4.tt. ij = 2"\ 4. 12. t/ = -±и~^—-. 4.13. # = loa,(2r-6)-х' - Зг + 2
4.14. y = log:i(3x-xly 4,15. /(,r) = arccos (Ir jt), найти /(1/10). /(1). /(10). 4.16. гу = Vsin.A-- і.
Найти пределы функций.
г2 -Q s t — 2 ' л:2 + 2.V -'J
4.І7. lim---.4.18. lim , .4.19. lim , ".
J-*J r-3 WT.v -л+4 ¦'-"¦.V" -5.ГН-7
4,20. Iiinlili.4.21. Nm[Vl + ** - -T 1.4.22. ]іпі(л/.г3 + 4r - .vi .vJ -З -4 ; J-4 /
4.23. 1іггЛ"5т + *.4.24, limAi±l.4.25. limS^.4.26. lim™3*. ¦'-1 X -GL*-+5 .r + I д ""sinSj
4.27. і1гл^.4.28Ліл]^.4.29ЛітЬ^.4.30.и^Г'.
Найти точки разрына и определить типы разрывов.
4.3І.
4.32.
X
і; = -^— 4.33. у =2Ll.4,34, V = tg А. 4.35. у = е'*\ X + 2 '
4.36. у=!!"!""! 4.37. у = —-—-.4.3M=*' ~5v+6_
4.39. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида D (P) = а — ЬР, S(P) = dP+ с.
1. Определить равновесную пену. 2. Найти графическим способом, является ли модель паутинного рынка «скручнваюиіейся». Варианты задания параметров зависимостей спроса и предложения:
