Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
6.3.3. Выпуклость и точка перегиба графика функции
Определение 2. Будем говорить, что график функцииу=/(х) имеет на HHTe]JBaTC (я, Ь) выпуклость, направленную ант (терх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функций на (а, Ь) (рис. 6.3).
Ой b х 0 а Ь X
о 6
Рис. 6.1 выпуклость графика функции на интервале (в, о)' я —направленна! вниз; б — направленная вверх
116 Глава 6. Приложения аппарата производных
Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой.
Теорема 6.5. Если функция // =/(х) имеет на интервале (а, Ь) вторую производную и/' (д) > 0 (/" (х) < 0) на (а, Ь), то фафик функции имеет па (с/, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Определение 3. Точка M (-т(„/(.Y0)) называется точкой перегиба графика функции у = /(.v), если в точке M фафик имеет касательную и существует такая окрестность точки д-„, в пределах которой график функции/(.г) имеет разные направления выпуклости.
В точке перегиба касательная пересекает фафик функции, поскольку oft переходит с одной стороны касательной на другую, т. е. «перегибается» через нее (рис. 6.І).
V
Рис. 6.4. Перегиб графика функции. М — точка перегиба
Теорема 6.6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции у=/ (х) имеет перегиб в точке M (.1цр/(.Vg)) и функция/(.V) имеет в точкех„ непрерывную вторую производную. Тогда
/4-Vo) = O. (6.10)
Отмстим, что не всегда условие/' (ха) = 0 означает наличие точки перегиба на фафике функции у=/(х). Например, ірафпк функции у = х*" (и є jV) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при .V = (J вторая производная раина нулю. Потому равенство (6 10) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (о.Ш) выполнено, будем называть критическими.
Теорема 6.7 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция У- fix) имеет вторую производную в некоторой окрестности ТОЧКИ „T0, которая имеет разные знаки слева и справа от .v„. Тогда фафик У —j (-v) имеет перегиб в точке M (.V9,/(х^У).
Теорема верна и для случая, когда-/' (х) существует в некоторой окрестности точки д'о за исключением самой точки .V0 и существует касательная к графику функции в точке А/. Например, функция f(x) = д'''1 в точке л' = 0 имеет бесконечные производные; в точке 0 (0. U) касательная совпадает с осью Qu. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная /' (д) = = -2/(Qx3™) имеет разные знаки слева н справа от тонких = 0 (рис. 6.5).
AT 1
1
-1!
Q
I JT
1-1
Рис. 6.5, График функции /(х) = *"* с точкой перегиба в начале координат
Рассмотрим примеры: найти точки перегиба и направления выпуклости графиков следующих функций.
Пример 17. /(х) = exp (-Х2).
Решение. Последовательно находим:
/ (X) = -Ir ехр (-Xі). /' (X) = 2ехр (-Jr1kzjr1 - t).
Приравнивая вторую производную к нулю, получаем критические точки X = силу четности функции достаточно исследовать
точку X = l/V2. Нетрудно увидеть, что при переходе через эту точку
слева направо/" (х) меняет знак с минуса на плюс- Следовательно, на левой ветви функции точка Mt(-1/V2,ё~l/J) является точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 6.6). На правой ветви в точке перешба M3(-l/V2,
в"1'1) графика функции выпуклость вверх слева меняется на выпуклость вниз справа,
Пример 18. /(х) = In (Xі - 2х + 2).
I
M1 /
-1/V2 U I/« -г
Рис. 6.6. График функции f {х) = х1'1 с точкой перегиба в начале координат
Решение. Вторая производная равна f (х) = 2-—'--'———.
(х' -2х + 2у
Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки .v1 = О, .v1 = 2. В точке перегиба M1(O1 In 2) график функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; и другой точке перегиба jUs (2, In 2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.
6.3.4. Асимптоты графика функции
Часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой, т. е. расстояние от графика до этой прямой (длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю. Такого рода прямые называются асимптотами.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение 4. Прямая х = а называется вертикальний асимптотой графика функции у - f (х), если хотя бы одно из предельных значений limf(x) или Km /(х) равно +=ю или -х.
Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е^х имеет вертикальную асимптоту .v = O, так как / (х) « при .г -» 0+.
Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у =/(х) при х -+ ±*. если /(.v) можно представить в виде
6.3. Исследование функций 119
f(x) = kt + b + a(x), (6.11)
где а (х) —> 0 л рн X ±по.
Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент к в (6.11) равен нулю.
