Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложение: экспериментальных измерениях, таблицах бухгалтерской отчетности и банковской деятельности, статистических данных и т. п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую, тогда другае величины будут являться функциями от этого аргумента. Компьютерные базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, т. е. на табличной форме функциональной зависимости.
2. Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы или набора формул. Приведем примеры аналитического задания функций.
s
76 Глава 4, Функции одной переменной
ее значений — отрезок [0, 1J1 Это половина окружности, лежащая в верхней координатной полуплоскости (p.tc, 4,2).
X
Рис, 4.1. График функции v-а3
Пример 2. у = Vl -xJ. Функция задана
на отрезке I — 1. 1|. множество
Рис. 4,2. График функции у - Jl- х1
Пример 3. у = sign Jf =1
t если .г < О, О, если Jf = О, L, если X > 0.
Пример І. у=х*. Эта функция задана на бесконечной прямой —ж < ,г < ос. Множество значений этой функции — тоже бесконечная числовая прямая -ж <_*¦<». Функция называется кубической параболой (рис. 4.1).
4.1. Функциональная зависимость 77
Название sign происходит от латинского sigruini — знак. Функция задана па всем бесконечном промежутке (-od, od), а область ее значений состоит из трех чисел: -1, С), 1 (рис. 4.3). Стрелки означают, что полупрямые не достигают точек на осп ординат, так как при л = О значение функции определено по другому соответствию.
і
Г -1, ы-1н і <- 0, 1. I, «ли X > 0.
0
T
-1
Рис. 4.3. График функции у = sign *
3. Графический способ. Соотиетствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. п.). В экономике широко используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема ВВП. выручки, курсов валют, курса акций н т. п.
4.1.2, Область определения функции
В этом разеделе мы опишем процедуру нахождения области определения функции.
1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)
у=/СО (4-і)
и более никаких ограничений не имеется, область ее определения находится только по соблюдению законности выполнения математических операций, входишпх в формулу / в (4.1). Эти ограничения хоро-[UO известны: подкоренное выражение в корне четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным пулю, выражение под знаком логарифма должно быть только положительным, — а также некоторые другие. Приведем дна примера.
78 Глава 4. Функции одной переменной
Пример 4. у = !ogj (хг -5.г +6).
Область определения функции находится из условия х2 - 5х + 6 > 0. Корни квадратного трехчлена .т = 2 и х = 3, следовательно, это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-со, 2) и (3, да). График функции отсутствует в интервале (2, 3).
Пример 5. и = aresin—!— .
X + 2
Область определения этой функции находится из совокупности двух условий: аргумент под знаком aresin не может быть по модулю больше единицы н знаменатель аргумента не должен равняться нулю, т. е.
Решая эту систему неравенств, получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных промежутков: (-ос, -3J и [-1, эо). Запретная точка х= -2 сюда не попадает.
2, Область определения функции задана вместе с функцией/(х). Пример 6. у = 3x^ + 2, 1 <д<4.
3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также п реальными значениями входящих параметров (например, приложения в экономике).
Определение 2. Функция у =/(х) называется четной (симметрия относительно оси Oy), если для любых значений аргумента из области ее определения выполнено равенство
Определение 3. Функция у=/(х) называется нечетной (симметрия относительно начала координат 0), если выполнено условие
Например, функции у = Xа и у = cos х являются четными, а функции у =х^ и у = sin 2х — нечетными.
4.2. Предел функции 4.2.1. Предел функции в точке
Пусть функция/(J;) определена на некотором множестве X. Возьмем из X бесконечную последовательность точек
/(-X)=Z(X).
(4-2)
f(-x) = -f(x).
(4.3)
4.2. Предел функции 79
сходящуюся к точке а, причем а є X или а й X. Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности (4.5).
Определение 4. Число А называется пределом функции/ (х) в точке а (или пределом функции при х-* а), если для любой сходящейся к а последовательности (4.4) значений аргумента т, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции (4.5) сходится к числу А.
Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: lim f (х) ^ А или /(.г) А Функция /(Jt) может иметь в точке а только'одно предельное значение, поскольку последовательность {/(Xn)) имеет только один предел.
