Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
а) а = 2. Zj = 5, г = 3, d=2\
б) я = 5, /) = 3, < = 1. d=i.
Глава 5
Основы дифференциального исчисления
5.1. Дифференцирование 5.1.1. Понятие производной
Пусть функция / (.г) определена на некотором промежутке Лг. Придадим значению аргумента в точке X0 є X произвольное приращение Літак, чтобы точка х{) + Ax также принадлежала А'. Тогда соответствующее приращение функции /(л-) составігг Ay = f(xu + Ax) -f(xa).
Определение І. Производной функции f (х) в точке xQ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Ax—* 0 (если этот предел существует).
Для обозначения производной функции Лг- употребляют символы У'(Xa) или/(Jf0):
№,) = lira ^ = lim (5л)
Если в некоторой точке Xn предел (5.1) бесконечен:
.. Ay Ay
ит^—~+<х> или hm—= -со,
то говорят, что в точке хй функция/(jt) имеет бесконечную производную.
Если функция /(х) имеет производную в каждой точке множества X, то производная/^) также является функцией от аргументах, определенной на X.
7-1222
98 Глава 5 Осноаы дифференциального исчисления
5.1.2. Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Определение 2. Касательной к графику функции у = (х) в точке M называется предельное положение секущей MN, когда точка /Устремится к точке M по кривой у= j ix).
Пусть точка M на кривой /(х) соответствует значению аргумента ха, а точка jV— значению аргументах + Ax (рис. 5.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке л0 нужно, чтобы существовал предел Nm ф(.т) = ф„, который равен углу наклона касательной к оси O.v. Из треугольника MNA следует, что
Рис. 5.1. Геометрический смысл производной
Если производная функции /(х) в точке Xn существует, то, согласно (5.1), получаем:
XRV0^f (ха). (5.2)
Отсюда следует вывод, что производная/'(х,Л равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=/(х) в точке M (-v0,/(.vfl)). При этом угол наклона касательной определяется из формулы (5.2):
<h = arctg /(*„). (5.3)
5.1. Дифференцирование 99
5.1.3. Физический смысл производной
Предположим, что функция / = /(О описывает ,«ікон движения материальной точки по прямой как зависимость пути 1 от времени f. Тогда разность al=f(t + at)-/ (г) — это путь, пройденный за интервал времени ar., а отношение al/at — средняя скорость за время at. Тогда предел lim(4//Af) = f'(l) определяет мгновенную скорость точки в момент времени і как производную пути по времени.
В определенном смысле производную функции y-f {х) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина \f (х) |, тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график /(д) и быстрее растет (убывает) функция.
5.1.4. Правая плевая производные
По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.
Определение 3. Правой (левой) производной функции у=/(х) в точке X1) называется правый (левый) предел отношения (5.1) при Дх-^ О, если этот предел существует.
Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:
(5.4)
Если функция /(л) имеет в точке.Tn производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают.
Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это /(.V) = I .г|. Действительно, в точке .T = o имеем /,'(0) = ], /.Xv) = -1 (рис. 5.2) и /+(0) * /-'(О)-'1- е- функция не имеет производной при j = o.
с
1
у
о
JC
о
T
рис. s.i. Пример функции, имеющей односторонние производные в точке, не равные друг другу: а — график функции C(jr) = | х |, S — правая и левая производные функции в тачке jt = 0
100 Глава 5. Основы дифференциального исчисления
Операцию нахождения пуки і л водной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точке, называется д иф ферепц прием ой.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.
Теорема 5.1. Если функция дифференцируема в точке .? то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция /(лг). непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Такой является функция // = 1*1; она непрерывна в точке х = О, но не имеет производной в этой точке.
Таким образом, требование дифференцмруемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого следует второе.
5.1.5. Уравнение касательной к графику функции в данной точке
Как указано в 4.5.1, уравнение прямой, проходящей через точку М(ха, Уо) с угловым коэффициентом к, имеет вид
У "//о = к {х-хп).
Пусть задана функция у =/(т), дифференцируемая в точке M (хц, уц). Тогда в силу соотношении (5.2) н геометрического смысла производной следует, что уравнение касательной к ірафнку функции fix) в зтой точке имеет вид
