Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
? _ АР/D 100%
~ АР/Р 100%'
Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимости AP от AQ удобно перейти к пределу при AP ~* 0:
E(D) = P—!-—}. (еде)
D(P)
Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S (P). Напомним, что функция D (P) убывает, а функция 5 (P) возрастает с ростом цены Р.
Пример 22. Пусть спрос на товар определяется формулой
D(P)= 100 -ЗА
Найти эластичность спроса при цене па товар P= 20 ден. ед, Решение. Согласно формуле (6.16).
E (D) = 20-( -3)/( 100 - 3 ¦ 20)= -1,5.
Это означает, что при повышении (понижении) цены товара на 1 % спрос на него понизится (повысится) на 1,5 %.
Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (6.16), ее можно выразить так:
E(D) = P(InD(P))'. (6.17)
Из равенства (6.17) следует, что ?(D) обладает свойствами логарифма, а значит,
E(D1DJ = E(D,) +E(D1), E(D,/D-,) = E(D1) - E(D1). (6,18)
Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то D* (P) < 0, а тогда, согласно формуле (6,16), к E(D)<0, Напротив, поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S) > 0.
11 ?(D)|:
124 Глава 6. Приложения аппарате производных
а) если|?"(0)|> 1 (E(D) <-1), то спрос считается пластичным;
б) если |E(D) |=t (E (D) - -1), то спрос нейтрален;
п) если I E(D) I < 1 (E(D) > - L), то спрос не эластичный.
Пример 23. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса.
Р<яитие. Выручка / равна произведению цепы /' товара на величину спроса D:
1(P) = D(P)P- (G.19)
Найдем производную этой функции:
/'(P)-D(P) +PD'(P). (fi.20)
Tt'iіе])іі проанализируем все варианты иластпчппегп спроса, приведенные ранее, с учетом формулы (6.16),
1. ?(D)<-1; тогда, подставляя (6.16) в это неравенство, получаем, что правая часть уравнения (6.20) отрицательна. Таким образом, при ачаапчпостп спроса повышение цены P іїє.'И'і к снижению выручки. Напротив, снижение цепы товара увеличивает выручку.
2. E(D)= -1. Из (6.Ki) следует, что правая часть (6.20) равна нулю, т. е. при нейтральном спросе изменение цены тонцра не влияет на выручку.
3. E(D) > - \. Ti яда /' (P) > 0, т. е. при не аіасиїчпом спросе повышение цены P товара приводит к росту выручки.
Понятие эластичности распространяется и на другие области экономики. Рассмотрим одни характерный пример.
Пример 24. Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q Hv производства выражается формулой
C = 50 - 0,5 Q1
Требуется определить оласшчноетъ себестоимости при выпуске продукции Q -- 30 ден. ед. Решение. По формуле (6.1G) получаем:
05Q
ад-
откуда при 30 искомая эластичность составит около -0,42, т. е. увеличение данного объема выпуска продукции на 1 % приведет к снижению его себестоимости примерно на 0,42 %.
Упражнения 125
6.4.3. Максимизация прибыли
Пусть Q- количество реализованной продукции, R(Q) - функция дохода, C(Q) — функция затрат на производство продукции. В реальности вид этих функции зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенной продукции находим по формуле:
П (Q) ^R (Q)-С (Q). (6.2І)
В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (б. 15), так что этот принцип можно записать в виде R' (Q) = С (Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (G.21) следует, что II" (Q) = O. откуда и получается приведенный ранее основной принцип.
Упражнения
Найти пределы с использованием правила Лопиталя.
6.1, Um^—1.6,2. lim/ ~Р ' .6.3. IiBU ln.v.6.4. lim*' -З*' +2 A-o X ''Чп(1-кг) ¦<-¦> '-і ,тл -Лх' + 3
6.5. Ііт^.6.6. ІтХ.б.У. ппгКг '1). 6.8. Іш/^ х.
,->г х '-11X CIg П.V м(| T
„ .. .. l-2sin.r „ ,. cg(ir.r/2) , In(I -.v> (І.У. lim -. Ь.10. lim —-. 6.11. um--.
'-" 6 cos at ¦¦-*1 In(I - .v) sin J"
6.12. Разложить по формуле Маклорена функцию / (.г) = tg.r до члена с т1 включительно.
6.13. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = е'х да члена с .г2 включительно.
Найти пределы с использованием разложений но формуле Маклорена.
6.14. 1^-^-^.6.15, UmI^. 6.16, lm/-+^2.
v-J дг-siri.v ¦'-1' X І_*0 -І
6.(7. Цт*л
126 Глава 6. Приложения аппарата производных
Найти интервалы выпуклости и точки перегибов графиков функций.
6.18. у = х* -6х2 +л. 6.19. у =-^-.6.20, у = 2х2 +Inj:.
1 + X
Найти асимптоты графиков функций.
6.21. у = —-. 6.22. ц=хе-*. 6.23. у = —.
X + 1 .T + I
Исследовать и построить графики функций.
6.24. ^ = л?-6г. 6.25. j = — -Zx-. 6.26, ty = ^?—l 6.27. ц = -4-—.
4 X + 1 Xі ¦-1
6.28. ї = кч. 6.29, у = с' ~g ' .6.30. у = ——.6.31. у =^—
е' + е~* лг + 1 X-2
6.32. ,у = є"'.
Решите задачи на наибольшее н наименьшее значения.
6.33. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V, при которых на облицовку его дна и стен пойдет наименьшее количество материала.
