Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Укажем способ нахождения коэффициентов ft и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе частії равенства (6.11) на х и переходя к пределу при д:-»эо, получим:
im
ft + - + ——
Л" Д"
ft. т. е.
ft = lim^. (6.12)
Затем из равенства (fi.l 1) получаем:
lim|A + а (.V)] = b = 1ілі|/(д-)-ІЬг]. X7-4
(6.13)
Пример 19, / (х) =
X -г 1
Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка х= -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем
lim /<х) = -н», lim /(х) = -*>.
Затем находим наклонные асимптоты:
k = lim
Дх)
= lim
6 = ]tm|/(x)-*r] = lim
a -4
X + 1
— Л"
.. x + 4 , = -hm—— = -1.
J'-1 .r + 1
Таким образом получаем уравнение наклонной асимптоты:
у = х- 1.
6.3.5. Схема исследования графика функции
Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции у =/(.г).
2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции (см. 4.1.2).
120 Глава 6. Приложения аппарата производных
При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатой полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно осп Oy а случае четности / (х) или с центральной симметрией при нечетности /(.г).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ox и Qy, т. е. решить соответственно уравнения у = /(0) и /(.г) = 0.
4. Найти асимптоты.
5. Найти точки возможного экстремума.
6. Найти критические точки.
7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости трафика, точки экстремума и перегиба.
S. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Кслн областью определения функции является отрезок [а, Ь\, необходимо вычислить значения функции в «о концах и сопоставить их с локальными экстремумами.
9. Построить ірафик функции с учетом проведенного исследования. Пример 20. Исследовать и построить график функции
Решение. Действуем по приведенной ранее схеме.
1. Область определения функции: х г- 0 пли .т є (-«з, 0) w (О, оо).
2. Функция (б, 14) является нечетной, так как/(- г) = -/(зг),
3. Пересечений графика функции с осями Ox и Oy нет.
4. Имеется вертикальная асимптота — ось Oy1 так как предел/(лг) при X -> 0 бесконечен: /(.v) -t при x—to.f (х) -» -те при .г -> 0+. Определяем наклонную асимптоту:
Xі + 1
(6.14)
У =
л*
к = Jim
/СО х* і-І — = Jim--— =
= I1
y i—y -
й-]іт|/(т)-Аї] = 1іга
Xі + 1
-.г= Jim- =0.
Уравнение наклонной асимптоты: у=- г.
6,3. Исследование функций 121
5. /' (л-) =:—-—,т. е. производная равна пулю в точках .г = +1; она меняет знак с * + ^ на •*-» при переходе через точку х = -1 (локальный максимум) к с на ч + о при переходе через точку X= і (локальный минимум). Значения функции в этих точках равны, соответственно, -2 и 2.
6. /" (jr) = 21хл — критических точек нет.
7. Функция (6.M) возрастает на интервалах {—я, -1) и (I, ж) и убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1).
В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вверх (J' (Jt) < 0), в правой полуплоскости выпуклость па-правлена вверх (J" (х) > 0).
8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область се значений нсогранпчена.
9. График функции (6.14) приведен на рис. 6.7.
122 Глава б. Приложения аппарата производных
6.4. Применение в экономике
6.4.1. Предельные показатели в микроэкономике
Приведем в этом разделе пример двух предельных показателей в микроэкономике.
1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее обьема Q: С=/(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует себестоимость AC прироста продукции AQ.
MC = ^. AQ
В предположении о непрерывной зависимости AC от AQ естественно напрашивается замена разностного отношения его пределом:
MC= lun— = C(Q). (6.15)
AQ
Обычно в приложениях с использованием аппарата математики под предельной себестоимостью понимают именно величину (6.15).
Пример 21. Пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой
C= 2QQ- 0,05 (У
денежных единиц. Определим средние и предельные издержки при объеме продукции стоимостью Q = 10 ден. сд.
1. Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле С = CjQ1 или в нашем случае.
l7=20-0,O5-Qj,
откуда C(IO) = 20 -0,05 ¦ JOO = 15 ден. ед.
2. Предельные издержки определяются, согласно (6,17), по формуле
С = 20-0,015 Q2. откуда при Q= 10 получаем С (10) = 5 ден. ед.
Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 15 ден. ед. дополнительные затраты па производство единицы дополнительной продукции составят 5 ден. ед. и не превышают средних издержек.
6.4.2. Эластичность экономических показателей
В анализе н прогнозах ценовой политики применяется понятое эластичности спроса. Пусть D=J(P) — функция спроса от цены товара P (см. 4.6Л). Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на одни процент:
