Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Между тем система (2.R) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи; прежде всего — все .элементы матрицы А и векторов х и Jy должны быть неотрицательными.
2.3.3. Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А. все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора у с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (2.8) — вектор „т, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Для уравнения типа (2.8) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые основные ее моменты.
Перепишем систему (2.8) с использованием единичной матрицы E в виде
(E-A)S = у. (2.9)
Если существует обратная матрица (E Л)"1, то существует и единственное решение уравнения (2.8)
х=(Е-АУу. (2JO)
Матрица (E - Л)"' называется матрицей полных латрат. Существует несколько критериев продуктивности матрицы Л. Приведем два из них.
1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E-A)'^ существует и ее элементы неотрицательны.
2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
2 3- Модепь Леонтьева многоотраслевой экономики 59
IX < 1. (2.11)
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.
Пример 1. E табл. 2Л приведены данные по балансу на некоторый период времени между пятью отраслями промышленности. Найти век-горы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведенными вьшіе критериями.
Таблица 2Л
Отрім'ль
Пгтгрсйлсши'
Конечны Ei
На-тніні
I I
2
3
3
продукт
выпуск, .It'll, ел.
1
СТЩ !1.1'WTPdI1I IHC-
IfS
12
2-і
1
В
16
10
100
2
iJiiepitTHKa
IO
3
33
IS
7
3D
10(1
3
Машиностроение
10
5
11)
IO
10
ЭС1
•і
Автомобильная промышленность
.0
3
111
3
5
15
5(1
3
Доиыча И персрабогка
7
13
IQ
3
3
100
углеводородов |
Решение. В табл. 2.4 приведены составляющие баланса в соответствии с соотношениями (2,7): X11 — первые пять столбцов, U1 — шестой столбец, л, — последний столбец (i, / = ]. 2, 3. 1. 5). Согласно формулам (2.5) л (2.7), имеем
'IUU '
'104I
'0.15
0,12
0.18
0,16
0,16'
100
30
0,10
0.03
0,70
0.30
0,07
50
. й-
5
, А =
0.10
0,05
020
U20
0,10
50
XS
0,10
0,05
020
0,10
0.05
,100,
,50,
,0.07
0,15
0.30
020
0.03,
Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их суммы it третьем и четвертом столбцах больше единицы. Следовательно, условия второго критерия продуктивности не соблюдены,
?0 Глава 2. Применение элементов линейной алгебры в экономике
н матцпна А не яаляется продуктивной. Экономическая причина этой непродуктивности заключается п том, что внутреннее потребление OTfiai.vicІІ 3 и і спинком велико п соот ношении С их валовыми выпусками.
Пример 2. Таблица 2-5 содержит данные баланса грех отраслей промышленности аа некоторый период времени. Требуется панти оіУьем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление но отраслям увеличить, соответственно, до 60. 70 и 30 условных денежных единиц.
Таблица 2.5
П.-'і!
СїЦиіі-.'іі. 1-
I Добыча к ttepsixifun (сі jr-ісисиорлдпп
0)1,14'!!? піка
J -Мл I It I I'l і остр*!к IW
ІІифсґіжчінс
КтМіСЧІІН Ii
ВлЛізіііііІІ
I
:i
продукт
:із. ,
і
¦я ,
AU
10U
IU
10 1
їй
tilt
KH)
20
10
10
50
ft'ittwiw3.. Выпишем BLNtTopbi валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (1.5) и (2.7), имеем:
МО'
(
.V =
100
Ti =
GO
. л =
0,10
0.10 0,40 0.10 0,20
Матрица А удоіілетиоряет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения копєчешго потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид
i'60)
Ц- =
70 30
(2.12)
Требуется найти новый вектор валового выпуска .Г., удовлетворяющий соотнопгсчгиям баланса в предположен ни. чю .матрица /1 не изменяется, В таком случае компоненты д,. л-.,. х-л неизвестного вектора .v. находятся из системы уравнений, которая в матричной форме имеет следующий вид:
.г. =Лх,
пли (E - Л)гт = и..
(2-13)
Матрица этой системы
(E-Л)
і Г).<)5) -(),35 -0..1 П4 0,10 0,90 -0,1() 0.20 -0.H) 0,80у
Решение системы ;j] і пени iii к уравнений (2.13) ирп задан ни я векторе правой части (2.12) (например. \ігтидолт Глуссл) Ласт поиый вектор і. как решение уравнении межотраслевого баланса:
M 52.6 >
135,8
I 92,5 j
Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимоувеличитьсоответствующие валовые віііпускп: добычу и переработку углеводородов на 52,2 %, уровень энергетики - на 35,8 % и выпуск машиностроения — на 85? —по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.
