Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
ж, = 150, X1 = 250, .Y11=IOO.
Общая постановка задачи прогноза выпуска продукции. Пусть
C = IM; i=l, 2, m, 7=1, 2..... п (2.1)
— матрица затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда, при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор
вектор-план X ¦- {.г,, х2, хЛ выпуска продукции определяется из решения системы m уравнений с гг неизвестными:
СхТ =q\ (2.3)
где индекс «т» означает транспонирование, вектора-строки в вектор-столбец.
2.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с од-
56 Глааа 2. Применение элементов линейной алгебры в экономике
пой CTDfHJH ы, является про извод л тел см. а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного рода. Впервые эта проблема была сформулирована в l9,')fi г. п виде математической миг/ели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины ; жоп оми ческой депрессии в США 1929— 1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.
2.3.1. Балансовые соотношения
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства ііредставдиет собой п отраслей, каждая из которых производит свой олиороднып продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление,). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев Такой единицей служит год.
Введем следующие обозначения:
• .V1 — общий объем продукции і-й отрасли (ее валовый выпуск);
• Jt', - объем продукции 1-й отрасли, потребляемый j-Ci отраслью при производстве объема продукции v;;
• у, - объем продукции і-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и г, д.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит и том, что валовой выпуск 1-й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. И самой простой форме (гипотеза линейности пли простого сложения) балансовые соотношения имеют вид
-VP = .V4 +.г,, + ... + .v,„ + t/„ 2=1, 2, п. (2,¦¦I)
Уравнения (2.4) называются соотмошттями баланса
Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный батане.
2.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономки 57
2.3.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
В. Лгоіггьевьш па основании анализа эконолшки США в период перед второй мировой войной пыл установлен важный факт: в течение длительного времени величины аи = Хц/х- меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и следовательно, объем потребления отраслью продукции 1-й отрасли при производстве своей продукции объемом .г) есть технологическая константа.
В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-i't отрасли объемом X1 нужно использовать продукцию 1-й отрасли объемом а.гт„ где я,;- постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной. а само это допущение называется шнотемй линейности. При этом числа її,: называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, имеем
Тогда уравнения (2.5) можно переписать в віще системы уравнений
'.V, = A11-V1 +а1з.т, +... + A1n-V,, +у,, Lv2 =а,,.т, +а.пх2 +...+а2пх„ + уг,
Введем н рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции {вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потреблении) и матрицу коэффициентов прямых затрат:
'SO
Ч,
д„ ¦
.V,
- У =
У г
, .4 =
я,,
¦ а1„
(2.7)
Тогда система уравнений (2.6) в матричной форме имеет вид
JT = Л X + у. (2.H)
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевою баланса. Вместе с описанием матричного представления (2.6) Это уравнение носит название модели Леонтьева.
58 Глава 2. Применение элементов пикейной алгебры в экономике
Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. Б нервом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска х, требуется рассчитать вектор конечного потребления у.
Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени /'(например, год) известен вектор конечного потребления у и требуется определить некто]) .V валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнении (2.S) с известной матрицей А и заданным вектором у. В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.