Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
1 .Б. Методы решения систем пикейных алгебраических уравнений 37
O11A1 + иуг x.j + aux-t +
4
= k
«ІІ'х* + X
(1.44)
Здесь верхний индекс і» скобках означает новые коэффициенты, полученные после первого шага. Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать с расширенной матрицей системы, отделяя в ней нертикії-тьной чертой столбец свободных члепоп. Итак, после первого тага, содержащего (т- 1) элементарных преобразований системы, мы переходим от расширенной матрицы (1.39) исходной системы к расширенной матрице
IJt
О!
S3
In
б!"
/,Ol
(1.45)
Второй шаг заключается в том, что теперь 2-я строка матрицы (І.45) используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3-й по ttz-ю: эта строка последовательно умножается на число а!"/аи
и вычитается из Hi строки 0 = 3, А.....vi). В результате этих (т - 2)
элементарных преобразований получаем новую расширенную матрицу, соответствующую новой эквивалентной системе уравнений. Эта матрица имеет вил
11*'
й(1)
о
О)
из
J о «її
А, І
- <:
(1.46)
где верхний индекс означает новые коэффициенты. В случае, если элемент а^} =-0, то второе уравнение можно поменять местами с другим уравнением, у которого элемент аа ? 0.
Продолжим этот процесс аналогичным образом (т. е. на третьем шаге преобразуются строки с 4-й по m-io, на четвертом шаге — строки с 5-й
38 Глава 1. Элементы линейной алгебры
по /ч-ю и т. д.) до тех пор, пока не дойдем до последней m-й строки. После (/ - 1)-го шага процесса последовательного исключения иена-
вестных мы
получим следующую расширенную матрицу:
аа ¦
*• 1
0
¦ «11'
¦
=
0
0
¦ «г"
¦
¦ я"""
0
0
0
0
- 0
с"
,0
0 ¦
¦ 0
0 ¦
0
(1,17)
Последние (т - г) строк этой матрицы соответствуют уравнениям эквивалентной системы уравнений
0.T1 +Or, +... + 0.V1 = Ь,(Г~"; і = г+1. г + т (US)
Эти уравнения могут появптіїси, если соответствующие уравнения исходной системы (1.35) представляют собой линейные комбинации других уравнений этой системы, о чем говорилось в предыдущем разделе. Здесь мы не исследовали заранее систему (1.35) на совместность; поэтому, если эта система несовместна, то хотя бы одно из чисел i^"". b^1, Л^г~" не равно нулю. Таким образом, метод Гаусса позволяет на определенном шаге установить возможную несовместность исходной системы линейных уравнений пли выявить и удалить уравнения, являющиеся линейными комбинациями других уравнений системы (1.35), если она совместна.
Пусть система (1.35) совместна, тогда все правые части уравнений (Ы8) равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе її нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфического ступенчатого вида, ранг копіюй равен г. Все элементы этой матрицы, стоящие слева или ниже элементов с;г„ равны нулю:
ап
0U '
- а..
" «In
0
(II
"г;
л1" •
¦ <
•¦ <
0
0
¦ а"1
.Ir
¦¦ <
о о
tr-H
it
,Ir-I)
Cl. Щ
Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга г, которая имеет вид
1 5, Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ЗЭ
111 1 і" t р.> i \п fl 1 '
а^х., + <'.Vt + ...4 <Ч, =й]".
<>r, - .4 = A{J\ (1.50)
Система уравнений (1.50) уже полностью подготовлена к нахождению решения, которое осуществляется снизу UUCfIX1 т. е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (1.35) к эквивалентной ее системе (1.50) называется прямий ходом, а нахождение неизвестных на системы (1,50) - обратным ладим метода Гаусса. Укажем дальнейшую последовательность действии.
1. Если ранг системы (1.35) г= п. то система (1.50) имеет вид
(1.51)
1х, = ЬУ
i'-D
Поднимаясь снизу вверх, последовательно находим (обратный ход метода Гаусса):
из последнего г уравненпя неизвестное х, = ЬУ'1' /аУ~]>;
— нз (г- 1)-ію уравнения неизвестное xr , путем подстановки в это уравнение уже найденного неизвестного х^
из 1-го V]IUBrIfIIIUi пен.шестое.T1 при подстапшіке в пего найденных величин хп л;, j......г,,,;
— И так далее до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже найденных вслпчше х„ xr ,, ...т X7 находим л-,.
2. Ранг системы уравнений (1.50) г< п. В этим случае объявляем неизвестные .г,. „ xr ,.j......Cn свободными л формируем правые части уравнений (1.50), оставляя ті левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные д,, .V3......V,:
a,,.v. г п..
+• ... 4 /J1.-1.
а\\\х7 +... 4 а'
(1.52)
•аУу"х,
40 Глава 1. Элементы линейной алгебры
Решение этой системы находится обратным кодом метода: теперь базисные неизвестные зависят от свободных неизвестных, которые могут принимать любые значения, а потому система (1.3:5) имеет бесчисленное множество решений.
Пример 12. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Ix1 2.T1
¦Зі-,, +2.v, + Зі, = l, - л j + л і - 4.ї t = O. + -ї, - у- Zv1 = 2, -2д\ + лгч +¦ од- = '.і.
