Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1.8. Если ранг г системы однородных уравнений (1,53) меньше числа неизвестных п, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из (» - г) решений.
Укажем теперь способ нахождения фундаментальной системы решений. Пусть система однородных уравнений (1.53) имеет ранг г < п. Тогда, как следует из правила Крамера, базисные неизвестные этой системы Jf1, хг, х, линейно выражаются через свободные переменные
.............................................. (1-54)
X, =?„JT„| +Р„-ї„г + ... +?,.,.,*„.
Выделим частные решения однородной системы (1.53) по следующему принципу. Для нахождения первого вектора-решения примем значення свободных переменных хп) = 1, .rr, J = хг.=... = х„ = 0. Затем
4'
44 Глава 1. Элементы линейной алгебры
находим второе решение Jt^: принимаем Л',,= I, а остальные у - L свободные переменные примем рапными нулю. Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, считая остальные нулями. Таким образом, фундаментальная система решении (ФСР) а векторной форме с учетом первых г базисных переменных (1.5¦I) имеет вид
.V1 :=(Р„, Pj1, Р„, 1- D..... 0),
-Vj = Prf..... P,,. 0. L 0..... 0), а5д)
Фундаментальная система решений (1,55) является одним \ул фундаментальных наборов решений однородной системы (1.53).
Пример 14. Найти решение и ФСР системы однородных уравнений
'.г, - .V, + .г, -,г, і л,, -2дг> -0, ¦ 2xt -3.Tj -Ъсэ +.T4 -.v. =0, -2д, + Зд, + Здг:1 +Xj^ + д- -.V11 =0.
Решение. ЕЗудем решать эту систему методом Гаугса. Поскольку число уравнений системы меньше числа неиаиеоннх, будем считав ,ї,}.т,. X3 базисными пепзвестпымн, a.r4,.Vj, .vB — свободіп.імі: переменными. Составим расширенную матрицу системы и выполним действия, составляющие прямой ход метода:
(2)
1
2 -2
Ґ1 і
! Г)
Io
Г і о
-1
-3 3
1
-2 3
•х. +
-., , * .V5 -Д. ~-Гй +X, )
X1 х. + Ъ, -Зс4 +Зт, -4V11 .г. - 3.Vr + 5д\.
2г.
(--!)¦ (2)
-1 1
-I -4 1 5
(2):
-1 -1
О
.V4 -х, +2.г(1 -їх, +д>,
Преобразованная расширениям матрица соответствует системе уравнений, которая уквивалептпа исходной однородной системе:
1.6. Однородные системы линейных уравнении 45
V1 + .V1 = л .
+ 2,V,
-г, -4л.( =-Дг, + 3v;i -4.vi;,
Обратный ход метода Гаусса дает значения базисных неизвестных, выраженных чере:ї гиобпдныо переменные,
х{ =-2.V1 +.V11, .г., = 1 Lv4 -3v-, .V1 = Mv Л -4.V1
Поскольку ранг однородной системы равен трем, то ФОР для нее го-стон і из трех .¦HiHL1UiHJ независимых некторпи. По формулам (!.,1:1) H]Ht п -6 и г -- 3. беря последовательно для свободных переменных тропки чисел (1. I). 0), {(), ]. 0) и (0. О, 1), получаем набор фундаментальных решении;
J1 = {Mt H1 -2, 1,0.0), .ї3 =(-4. -3. 0. 0, L1 0), л-, =(1. О, I. 0, 0, 1).
1.6.3. Характеристическое уравнение
В 1.2.5. было введено определение собственного значения и собственного иек'іора матрицы. Пусть т — собственный вектор квадратной матрицы А порядка п. Тогда имеет место матричное уравнение
Av = XX.
или
(Л-ХН\г = 0,
(1.56)
где X - собственное значение матрицы А, а ? и О - соответственно, единичная матрица н нулевой вектор-стол бе и. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (1.5(5) должна иметь ненулевое решение, г. е. в силу следствия 2 (см. ранее) определитель згой пктемы равен нулю:
! я,
а.
(7,„
X
= 0.
(1.57)
Определитель системы однородных уравнений (1.56) называется хп-рактеристическик многочленом, а уравнение (1.57) — характеристическим уравнением матрицы А.
Уравнение (1.57) имеет степень п относительно неизвестной л.. Нго корпи являются собственными числами матрицы А Определив набор
46 Гпавз 1. Элементы линейной алгебры
этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (1.56).
Пример 15. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
u *)
Решение. Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид
3~х 2 =0. I 4-Х
откуда, раскрывая определитель, получаем:
А? -77.+ 10 =0.
Корни этого уравнения X = 2, л. = 5. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные значения в систему однородных уравнений (1.56) при п = 2, соответствующей заданной матрице А. Собственный вектор, соответствующий собственному значению X1 = 2, является решением системы
Jf1 +2Jf1 =0, Jf1 +2л% =0,
По сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель системы равен нулю. Полагая X2 = b свободной переменной, получаем первый собственный векторX1 =(-2b, b) = b(-2, 1). Подстановка второго собственного значения Aj = 5 приводит к системе уравнений
-2л-, + 2*, =0, .V1 -.V2 =0,
которая через свободную переменную X2 ¦- с определяет иторой собственный вектор матрицы A: X1 = (с, с) = с (1, 1).
Поскольку h и с — произвольные числа, то одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины. Например, собственные векторы, соответствующие фундаментальным решениям однородных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид 5:, = (-2. 1), JVj=(I, 1).