Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метола Гаусса Имеем
-3
2
3
f
2
-1
і
-4
0
2
1
-1
2
2
,3
-2
1
5
(-2) (-2) (-і!)
(1) ->
(1)
(2)
'1
-3
2
3
1 ^
0
5
-3
-If)
-2
0
7
-!5
-4
U
7
-5
-4
о,
'1
-3
2
3
1 ^
0
5
-3
-10
-2
0
0
4
10
! 14
5
0
0
А
10
J 4
~5
'1
-3
2
3
1 ^
0
:5
-3
-10
-2
0
0
4
10
14
"'s
T
.0
0
0
0
0
(-7/5). (-7/5).
(2)
(-1)
(3)
Последняя, нулевая строка в расширенной матрице, полученной носче 3-ю шага, появилась из-за того, что в исходной системе четвертое уравнение является суммой ! -го и 3-го уравнений. Система совмест-
1.5. Методы решений систем линейных алгебраических уравнений 41
мая, и ішс;іе удаления пулевой строки заключительный ішд расширенном матрицы соответствует системе трех уравнений с четырьмя неизвестными (рапс системы меньше числа неизвестных). Поліігіш д., свободной переменной, получаем:
X1 -Зл\ -2с, = 1 -:1т,,.
— .г, = — 10.г н. 5 5
Из этой системы получаем обратным ходим метода Гаусса 7 25 5 19 11
.v1 =- + - j",, X., =- + .v1, а" = -+-Х..
і ^ ¦i і 2 2 2 2
Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, поскольку х4 может принимать любые значения.
1.5.4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Метод Гаусса является поистине универсальным для решения систем линейных алгебраических уравнений. В этом разделе мы продемонстрируем применение этого метола при вычислении обратных матриц.
Практически этот наиболее простой способ вычисления обратной матрицы состоит в следующих шагах:
1. К матрице Л, по отношению к которой ищется обратная матрица, приписывается справа единичная матрица Е.
2 Путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (Л I E) матрица Л приводится к виду единичной матрицы,
3. Посне окончания указанного вычислительного процесса, т. с. когда на месте исходной матрицы А будет сформирована единичная матрица, то на месте приписанной справа единичной матрицы ? будет находиться обратная матрица А'\ Иными словами, вместо расширенной матрицы (Л |?) в итоге получается расширенная матрица (?"|Л ').
Пример 13. Найти обратную матрицу исходной матрицы
'1 21.
А =
Решение. Выполним последовательно шаги 1 — 3:
42 Глава 1. Элементы линейной алгебры
(А\Е)=>
[
1 2 I СЛ( -3) 3 4 0 1,
і
T 2 1 O^ 0 -2 -3
(2) =>
о -2 -:
1 0 1-2 1
¦з i)(-\?)
(3) =>
'і 0-2 I^ ,0 1 3/2 -1/2,
Схема вычислений по методу Гаусса пояснена здесь геми же обозіta-ченнямл, что п в 1.5.3, при этом стрелками показано, к какой строке прибавляется измененная строка. Последний этап вычислении, показанный стрелкой перехода 3, состоит в делении последней строки расширенной матрицы на -2. Итак, обратная матрица имеет вид
Нетрудно непосредственно проверить правильность проведенных вычислений по определению обратной матрицы: AA'1 =А''А,
1.6. Однородные системы линейных уравнений
Определение 22. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.
В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид
Однородная система уравнений всегда совместна: действительно, набор значений неизвестных .V1 = O (г=1. 2, .... п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение однородной системы называется нулевым, или тривиальным.
1.6.1. Решение системы однородных уравнений
Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (1.53) разрешает следующая теорема.
Теорема 1.7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных.
йп.г, +O11Jr., + ... + аХкх„ =0,
(1,53)
1.6. Однородные системы линейных уравнение 43
Из этой теоремы вытекают два важных следствия.
1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.
2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.
1.6.2. Фундаментальная система решений
Решения однородной системы обладают следующими свойствами, если вектор ol = (€?,, CL2, .... а„) является решением системы (1.53),
то и для любого числа k вектор Ш =(kar ка^..... &ал)также будет
решением этой системы. Если решением системы (1.53) является также ]iiteicropr"=(7,. У;..... 7„), го сумма й + Y также будет решением
этой системы. Отсюда следует, что любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этпон Системы.
Как мы знаем на 1.1.4, всякая система п-мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, является линейно зависимой. Таким образом, из множества векторов-решений однородной системы (1.53) можно выбрать базис, т. е. любой вектор-решение данной системы будет линейной комбинацией векторов этого базиса. Любой такой базис называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Справедлива следующая теорема.
