Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения 47
Упражнения
i.t. Найти линейную комбинацию векторов За + Ab - с, где а = (4, I1 3, -2), 5 = (1, 2, -2, 3). г = (10. 8, 1, -3).
1.2. Найти линейную комбинацию векторов
где a, b, f—векторы, заданные в предыдущей задаче.
1.3. Найти длину векторов 5 = (2, 4. -3, 0) и b = (-1. 2, 2, -5) и угол между ними.
1.4. Вычислить (я - Ъ)г. если | Ai = 2^2, | А | = 4, угол между векторами ф = 135°.
1.5. Найти координаты вектора а-(2, -4, 3, 5) в ортогональном базисе, состоящем из векторов ё, = (-2, 0, 0, 0), е., = (0, 3, 0, 0). ел = (0, 0, 4,
0), et = (0,0.0, -1).
1.6. Найти матрицу С=2Л - ?, где 3-2 1 8 3 4 1
-5 7 0 4,
-2 2 -5
1 0 8 3 3 6
2 7
1.7. Даны следующие матрицы:
А =
D =
1
0 3
Ґ0 2 7 2
9
4 2 1
0
-I 0 -2
2 -1 -2
О
4 1
5
4 3 Л
-2
0) -I 2 3
В =
-3 4
2
2 -3 3\
1
6 7 О -3
F =
5 0 1
1
4 3 10
о
8 4^
-П 2 О 5
С =
б' =
0
2
\\
-3
4
5
2
-1
'1
3
2
-1
3
,1
-1
3;
Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы: в) матрицу 2C- С2: г) матрицу С*
48 Глава 1. Элементы линейной алгебры
1.8. Дана матрица
Проверить непосредственным вычис-
лением, какие из приведенных далее векторов являются собственными векторами згой матрицы, и указать соответствующие собственные значения:
h =
¦С)
d =
I о/
1.9. Вычислить определители:
з)
б)
з о -з о
2
3
4
1 -1
1.10. Дана матрица
А.=
'3-12
41
0 -2 3
1
А 1 3
2
,5 3 1
-3-
Найти следующие миноры и алгебраические дополнения этой матрицы: Mn. Mм, jVfM,
1,11. Найти ранги следующих матриц:
M -23 3 21
Л =
-1 3
4 -2 2 -1
1
-2 4^ 1 7 8 2
S
-27
4Ї 2 10 6
41 4 2
1.12. Найти, являются ли линейно зависимыми векторы A1, O1. 0-л:
а) н, =(2,-1,3). Q1 -(1,4,-1). W1 =(0,-9, 5);
б) O1 =(1, 2, 0). д3 =(3, -1, I), яя =(0, I1 1).
1.(3. Показать, что векторы я, =(1, -1,3), Tl1 = (3. -1, 1) и = (0, 1, 1) образуют базис.
Решить методом Крамера системы линейных уравнений:
1.14.
fir, - 3v,
1.
5 .г. + Ay.. = 14.
Упражнение
Ix1 + 2хг -Kv1 =8, 1.15. J-Ir1 + 3v, -Зг.( =-5.
Sr1 - Ir, + 5д*., = 10. Iv1 + .V3 - Й 1.16. Jv1 -Zv2 =5.
Яг, + •Lv2 -2хл = 13,
Решить системы линейных уравнении методом Гаусга: ''.r, +Zv.j -2л-, =2. . Zv1 -Зт, + 3v3 = 3, ^4.t1 + jc2 -.гй =8. [.v1 +Zv1 + 3v3 = 6, Zv1 + 3v, -.v3 = 4, .Iv1 + .v1- 4r% = 0. Zv1 і Зі¦, .v;t + .v., = -З 3r, -X., + Zv., + 4.v, =8, .v1 + .V2 + Зі.., -Zt4 = 6, -,v1 +Zv3 + 3v^ +5.v1 =3,
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
Zr1 + Iv2 -.Y3 +Zv4 =5. Зі", -х, + Zr., + .V4 = I1 -X1 +4.Vj -3va + .vt =fi, 6.V1 + 4.v, + Ax., + Or1 = I.
^1- , 3.t- -2.г.,
+ x.
--ta + Zv3 + 5.v1 ^ 0, = 1,
Zt1 + .v2 + .v11 + л
1.22. ix
-jr, + Zr.
2,
Zr, + Zr2 + Sv1 = 3.
1.23.
:", V За"э - Zv1 + Зл
Zv1 + Zr, M.v.
1,
Зг, =Z
3r. +3v, +5.Vj -2V1 +Зі', =1,
Zv1 + Zv2 + Av,
3v, +Uv-.
50 Глава 1. Элементы линейной алгебры
Решить методом обратной матрицы системы уравнений, предварительно вычислив методом Гаусса обратную матрицу.
1.24.
1.25.
1.26.
[2д-, +Jf3 = L
[xt + х2 =&. 2Jf1 - Зяг -.Tj = -6, JIr1 + 4х7 + 3.T3 = -О.
X^ = 4, Зга + 4r3 = —5, X, + = -2
2Jf1 + 2.V2
Найти фундаментальные системы решений однородных систем: Г.т. + 2т, -.т, =0, [2д-, -3v3 +дг3 =0,
1.28. 1.29.
1.30. 1.31.
[JC1 + 2х2 -xi +X1 = 0, [2Jf1 -3.V2 +Jf3
2хА =0.
-2jCj + 4jfj -*4 =0. [jr, +Zv3 + 4jj — 3.V ^ =0, 3.V1 + 5Jr1 +6-v.j -4r, =0. 4T1 +5,T; -2jt3 +3.V1 =0, [3x, + &г3 + 24х:1 -1StC11 =0.
2-ї,
4.Vj + OJC-j + 3.T,
3v, -6.Vj +4jt3 +Zv4 =0,
4v, -Sr, + 17.Vj + IbT4 =0.
Найти собственные векторы и собственные значения матриц. ' 2 44I
-1 -3J-
П 2 -2>
1.32. Л =
1.33. Л
1 о
1 3
Глава 2
Применение элементов линейной алгебры в экономике
2.1. Использование алгебры матриц
Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
Здесь мы рассмотрим задачи, использующие понятие матрицы,
I, Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
г-
Вид изделия. п/п
Количество изделий, сд.
Сиеход сырья, кг/пзд.
5
Норм з времени
ИЗГОТП IUI синя.
ч/из д.
Стоимость падения, дек. ел ./изд.
1
го
10
30
2
50
2
15
3
30
7
15
-15
А
40
¦1
8
¦10
Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья 5, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.
Решение. TItі длимым табл. 2.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный пнкл:
