Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Интегральные уравнения и соотношения для сфероидальных функций
1. Основное интегральное уравнение для в. у. с. ф. и свойства его характеристических чисел. Классические специальные функции: гипергеометрические, функции Бесселя и др.— допускают интегральные представления
47
как через элементарные функции, так и через функции того же класса. Простейшие представления получаются по методу Лапласа, согласно которому решения v(z) дифференциального уравнения второго порядка ищутся в виде контурного интеграла
v (г)= $e*lw(t) dt г
на комплексной плоскости t. В том случае, если коэффициенты дифференциального уравнения для функции v(z) линейны по аргументу, метод Лапласа приводит к уравнению первого порядка для вспомогательной функции w(z), которое разрешимо в элементарных функциях.
Лучшее, чего .можно добиться, совершая замены переменных в уравнении для сфероидальных функций, это уравнения с коэффициентами в виде полиномов второй степени по аргументу, что связано с характером особых точек. Вследствие этого реализация метода Лапласа приводит, вообще говоря, к необходимости решить для функции w(t) уравнение того же класса, что и исходное. Важным свойством сфероидальных функций (в отличие, например, от кулоновских сфероидальных функций) является тот факт, что вспомогательное уравнение для функции w(t) совпадает с исходным уравнением для функции v(z), так что представление Лапласа является по существу интегральным уравнением для функции ¦ v(z). Для сфероидальных функций можно получить интегральные уравнения и с более сложными ядрами, чем в методе Лапласа. Как показано в § 7, вид этих ядер определяется трехмерной функцией Грина оператора Гелымгольца в сфероидальных координатах.
С помощью интегральных уравнений удается установить связь между поведением сфероидальных функций в регулярной особой точке 2=1 и на бесконечности.
Получим интегральное уравнение для в. у. с. ф., применяя метод Лапласа. Будем искать представление функций
vml(c, z) = (\~z2)-m/2Sml(c, z) (2.1)
в виде контурного интеграла на комплексной плоскости z
vml{c,z) = }eaztwmi(c,t)dt, (2.2)
г
где контур Г, функции wml(c, t) и масштабный множитель ос требуется найти.
48
Выбор функции vm,(c, z) вместо в. у. с. ф. связан с тем, что в уравнении
(1 — z2) о" (г) — 2 (т+1) zv' (г) +
+ т—т2+с2{\— z2)]v{z)=0, (2.3)
которому они удовлетворяют (см. (1.5)), максимальная степень полиномиальных коэффициентов равна двум (в исходном уравнении (1.11) она равна четырем), а чем ниже эта степень, тем более простые результаты получаются по методу Лапласа.
Подставив выражение (2.2) в уравнение (2.3) и избавившись с помощью интегрирования по частям от полиномов по z, получим следующее равенство:
azt
\—t2)w{t) — 2mtw(t) +
t*)w"{t) +
-f 2(m — \)tw' {t)-\- (k + tn -m2 + c2+a2(2)w(t)
dl, (2.4)
где первое слагаемое — приращение выражения, стоящего в фигурных скобках, на контуре Г. Положим a=ic (можно и а——ic) и потребуем, чтобы выражение под знаком интеграла тождественно равнялось нулю. Получившееся уравнение для w{t) сводится к уравнению для сфероидальных функций (см. (1.5)), так что функцию wmi (с, t) можно представить в виде
wm,(c, t)^ml(c)(\-t2)m/2Sm,(c, i), (2.5)
где коэффициент ЦтАс) зависит от выбранной нормировки функций vmi(c, z) в (2.2).
Анализируя затем приращение на контуре Г в (2.4) с учетом условия
\vml{c, ±1)| <оо, (2.6)
которое следует из свойств в. у. с. ф., приходим к заключению, что контур Г должен соединять точки t——1 и t = 1. В частности, его можно выбрать в виде отрезка [—1, 1]. Объединяя (2.1), (2.2) и (2.5), получаем, что
И. В. Комаров и др.
49
в. у. с. ф. удовлетворяют соотношению
Sml (С, Т)) =
- Упа (с) \ е^'О - г)Т/2 (1 - tT,2Sml(c t)dt, (2.7)
которое можно рассматривать при фиксированном т как однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, причем в. у. с. ф. являются собственными функциями этого уравнения, a ^mi(c) — его характеристическими числами.
Из свойств четности в. у. с. ф. следует, что при четных /—т в. у. с. ф. удовлетворяют уравнению
Зт,(С, Т)) =
= У „а (c)j cos cr)t (1 - туТ/2 (1 - tT'^ni (с, t) dt, (2.8) а при нечетных / — m — уравнению
Sml (С, Л) =
1
= iyml(c) ^sincrtfO - г)Т/2 (1 -i2)m,2Sml(c, l)dt. (2.9)
Ядра уравнений (2.8) и (2.9) вещественные, откуда следует, что характеристические числа ^mi(c) вещественные при четных /—та чисто мнимые при нечетных I — т.
Важным является вопрос о вырождении характеристических чисел, т. е. о возможности равенств
Ут1(с) =Ут1'(с)
при некоторых I, V, с. Анализ численных материалов и асимптотических формул свидетельствует об отсутствии вырождения, однако общее аналитическое доказательство неизвестно, за исключением случая т=0 (см. ниже п. 2). В силу фредгольмовости уравнения (2.7) вырождение может быть лишь конечной кратности.
Равенства (2.7)—(2.9) могут быть аналитически продолжены на комплексную плоскость т) с разрезом [—1,1]. Используя определение для в. р. с. ф. из § 1, получаем
50
интегральное представление
= xmz (с) X (5« - l)m/2 (1 - tT/2e^Sml (с, t) dt, (2.10)
