Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
В сфероидальных координатах уравнения Шредин-гера
ДЧЧ-2(?-10Ч'=0 (2.9)
(? — энергия) можно решать методом разделения переменных только при специальном выборе формы потенциала. Потенциалы, допускающие разделение перемен-
21
пых л вытянутых сфероидальных .координатах, имеют вид
у- 2(а(1) + Ь{ц) С(ф) л Q,
v~ d*{ 5« — *|« + (f- 1)(1-П') J' К '
Аналогично потенциалы, допускающие разделение переменных в сплюснутых сфероидальных координатах, должны представляться в форме
У _ 2 (а(р-Ь(ч) С(ф) ) ,9 ш
rf2 [ рн-ч* i_ aa+i)(i-n2)j' ( '
Полагая
Т=^(6)У(л)2(Ф), (2.12)
приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций Х{\), Y(r\), Z((f) в вытянутых сфероидальных координатах:
dl d\
-!-[- л + ?f (I2 - 1) н- в (6) - ^-pk = о,
(2.13)
^_(i_n2)4-v +
+k + 4p О - rv2) + 6 (Ч) - j^r] V = o,
(2.14)
^-Z + lti-C(9)lZ = 0, (2.15) и в сплюснутых сфероидальных координатах: ?(S» + 1)?X +
(2.16)
.Ч(1-Ч,)^г1' +
+[*. —?f (1 - п«) + Ь (т|) - -р^]/ - о,
(2.17)
J^Z + l|i-c(v)]Z=--0. (2.18)
22
В уравнениях (2.13) — (2.18) Я и |i — константы разделения. В отличие от сферически симметричных задач, энергия Е входит не только в радиальные уравнения (2.13), (2.16), но и в угловые уравнения (2.14), (2.17), так что соответствующие задачи Штурма — Лиувилля со спектральными параметрами % и Е приходится решать совместно.
Примером потенциала, допускающего разделение переменных в обеих сфероидальных системах координат, является потенциал изотропного гармонического осциллятора
V0 = iwV2. (2.19)
В вытянутых сфероидальных координатах
Мч) = --~ ч2(1-ча), (2.21)
в сплюснутых сфероидальных координатах
«оФ = --^г(?г + 1), (2.22)
Ьо(г\)=^~-цЦ1-ц% (2.23)
причем азимутальная функция в обоих случаях одинакова:
2(ф)=.(2я)-1/2ехр(±1тФ), (2.24)
ц=т2, т=0, 1, 2, ... (2.25)
Важный пример разделения переменных в вытянутых сфероидальных координатах дает задача о движении электрона в поле двух неподвижных центров с зарядами Z\ и Z2. Потенциал таких двух кулоновских центров
V = - Ь-_ Ь. (2-26)
'1 г2
(здесь Г\ и r2 — расстояния, отсчитанные от левого и правого фокусов соответственно) может быть представлен в форме (2.10).
23
Подставляя в уравнение Шредингера волновую функцию в виде произведения
V = Щ%)Е(ц)е±"»*, т=0, 1, 2, ... , (2.27)
приходим к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям:
^2-1)^П +
+ [- x - р* (v - 1) -Ь al - ^i-] П ^ 0, (2.28)
(2.29)
где обозначено
a=(Z2+Z1)d( b=(Z2-Zl)d, (2.30)
/»*=-?</*/2, ?<0. (2.31)
Обозначение (2.31) удобно при отрицательной энергии. Если энергия положительна, вместо р вводится параметр c-*-ip, так что
c2 = ?d2/2, ?>0. (2.32)
Когда частица движется достаточно далеко от кулоновских центров, можно разложить потенциал в ряд по мультилолям
V(ф)+*> =-----1--— cosra+ . . .
Отсюда следует, что параметр b—удвоенный ди-польный момент потенциала двух кулоновских центров. Собственные функции задач Штурма— Лиувилля, связанных с уравнениями (2.28), (2.29), подробно изучаются в главе II.
§ 3. Разделение переменных в уравнениях Максвелла в сфероидальных координатах
Уравнения Максвелла для компонент электромагнитного поля с выделенной зависимостью от времени еш и при отсутствии источников записываются в виде
rot?=—ikH, TotH=ikE, (3.1)
24
где Е и И—напряженности электрического и магнитного полей, k — волновое число. Используя выражение для операции rot в произвольной ортогональной, системе координат \, г), ср:
rot А = TQ&ik Мф ~ W Мч]е Ъ+
где hb Лч, Л, —метрические коэффициенты системы координат, а е%, еч, е,—единичные орты, можно получить следующие уравнения для компонент электромагнитного поля в этих координ1ата.х:
d(f ¦¦?-h E = ikh^hiH^,
— h Е - = ikhth^Hy,
д h И дцПЧ>ПЧ> -— ikhAh^Ei,
= —JkhyhiEn,
= — ikhih^Etf.
Известно (см., например, Вайнштейн, 1957), что в сферических и обобщенных цилиндрических координатах удается .ввести две скалярные функции — потенциалы электромагнитного поля, через которые могут быть вычислены векторы Е и И и которые удовлетворяют скалярным уравнениям с разделяющимися переменными.
В более общем случае координат вращения, к которым относятся и сфероидальные, разделение переменных может быть произведено, если компоненты ? и Я не зависят от угловой координаты <р. Система (3.3) тогда
25
принимает вид
•щ ЯфЯф = ikhihyEfi,
щк^Е^-1ккг^Нц, (3.4)
hyE^ikh^hyHt,
Разделение переменных может быть выполнено после введения .скалярных функций Р(|, ч) и Q(?, ч):
P=h4E4, Q = hvHv, (3.5)
называемых потенциалами Абрагама.
Простыми преобразованиями из первого, второго и шестого уравнений системы (3.4) получается уравнение для потенциала Р(|, ч)
a hl д р д % д 2
(3.6)
Подставив значения метрических коэффициентов в вытянутых сфероидальных координатах (1.5), получим
*L/> + (1_г,.)^р + с.(6._г|«)Я!=0,
с = Ы/2.
В сплюснутых сфероидальных координатах имеем
(?2 + О Р + (1 - ч2) ^ ^ + РЧб' + ч2) Р = 0. (3.8)
Для второго потенциала Q(|, х\) из третьего, четвертого и пятого уравнений системы (3.4) получаются уравнения точно такие же, как (3.7) и (3.8).
