Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
и" (0) + (4v+1) ctg W (О) +
+ ^ - 4v2 - 2v + с2 sin2 О + i^L'jo (0) = 0, (1.8)
причем условимся, что особые точки 2=±1 переходят в особые точки Ф=0, я. При v=—1/4 снова имеем уравнение без первой производной,
v" (Щ + [Я + | -f с2 sin2 0 + Шг=?'] v (0) = 0. (1.9)
Когда т=1/2, то уравнение (1.9) есть уравнение Матье, поэтому многие результаты для функций Матье, например асимптотические разложения, могут быть получены как частные случаи соответствующих общих результатов для сфероидальных функций.
Замена переменной z=tht, отображающая отрезок [—1,1] на всю вещественную ось, преобразует уравнение (1.1) к виду
и" (/)+[- т2 + *~ЬУ2/] и (0 = 0. (1.10)
2. Вытянутые угловые сфероидальные функции (в. у. с. ф.) и вытянутые радиальные сфероидальные функции (в. р. с. ф.). Будем обозначать переменную 2, если она принадлежит отрезку [—1,1], через т). Рассмотрим краевую задачу, связанную с дифференциаль-
30
ным уравнением (1.1) (Я_1)ц(т1) = А(1_т1')^и(г|) +
+ [Х-г-сг(1-Лг)-Г^]"(т1) = 0) \и(± 1)1<оо,(1.11)
где с^О, т — целое. При m^l краевые условия можно заменить стандартным требованием интегрируемости с квадратом на [—1,1]. Задача Штурма — Лиувилля (1.11) имеет бесконечный, дискретный набор собственных значений Xmi(c) и собственных функций Smi(c, х\), которые называются вытянутыми угловыми сфероидальными функциями (в. у. с. ф.). Функции Smt{c, г|) при фиксированном m образуют полную ортогональную систему в 3?z(—1, 1)*). Нумерацию функций Smt{c, г\) выберем таким образом, чтобы они имели 1—пг нулей на интервале (—1,1), так что всегда Z^m4 Собственные значения Xmi{c) при выбранной нумерации возрастают при
увеличении индекса l{Xml> ХтГ при />/')> причем
Х,т|—>со. Поведение hm(c) представлено на рис. 3 и 4.
1->-«о
Выбор нормировки в. у. с. ф. определяется многими соображениями: простотой, удобством численных расчетов, возможностью представить их в одном масштабе при различных значениях параметров и т. д. Удовлетворить одновременно всем этим требованиям не удается.
Введем две нормировки и в соответствии с этим два обозначения для в. у. с. ф. Первая нормировка является стандартной для собственных функций задач Штурма — Лиувилля
1
j^(C) 71)^=1. (1.12)
Она удобна в теоретических рассмотрениях. В этом случае над функцией мы ставим черту. Второй способ
*) ПодЗ^я, Ь) понимается пространство функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу на (а, Ь), в котором скалярное произведение вводится обычным образом:
31
6
so во w го о го w so go
Рис. 3. Собственные значения ^ы(с)-\-с2 и %oi(p)—Рг углового ур нения для сфероидальных функций.
Рис. 4. Собственные значения Я,ц(с)+с2 и %u(p)—pi углового ур нения для сфероидальных функций.
нормировки в. у. с. ф. по ее значению в точке т]=0, принятый в монографии Фламмера (1962) и рядом других авторов, следующий:
1—т
Sml (С 0) = Р? (0) = , I - т четное,
/-m-I
Sm/ (с, 0) = ^ Р/ (x)U=o - 2^/_w_i^ ^f + m+iV»
(1.13)
1—т нечетное.
Здесь Рт (х) — присоединенные полиномы Лежандра в обозначениях Феррера (Смирнов, 1974, т. 3, стр. 481)
Р7(х) = (\-х*Г»?Г1Р,(х) =
(^^^
2'П dx"+l[X } ( }
Фиксировать значение в. у. с. ф. в какой-либо точке удобно при реализации алгоритмов для их вычислений. В монографии Морса и Фешбаха (1958) задается поведение в. у. с. ф. в точке г) = 1. Однако выбор этой точки вместо точки т) = 0 менее удобен ввиду того, что при больших значениях параметра с в. у. с. ф. экспоненциально убывают от точки т)=0 к точке г)=1.
Введем коэффициент Nmt(c), связывающий в. у. с. ф. с различной нормировкой,
Sm,(c, r\)=Nml(с)Sml(с, т|). (1.15)
Формулами (1.12) и (1.13) коэффициент Nml(c) определяется с точностью до знака. Будем .считать его положительным.
Там, где нормировка несущественна, используем обозначение Smi(c, т)).
На рис. 5, а, б приведены примеры функции Soi{c, Г|).
При с=0 собственными функциями задачи Штурма—Лиувилля (1.11) являются присоединенные полиномы Лежандра, так что с учетом нормировки (1.13)
Sm/(0,r,) = Pr(n).
3 II. В. Комаров и др 33
Укажем на еще один частный случай элементарного решения задачи (1.11), который следует из формулы (1.4). Если с=/п/2, то *)
Slt{~. ц) = Р\{0)^== cos^t], I нечетное,
sin-jj-Tj, I четное.
(1.16)
В. у. с. ф. обладают определенным свойством четности. Действительно, если Smt(c, ц) —собственная функция задачи (1.11), то непосредственной проверкой
с=3
SDZ(c,mb
Рис. 5. Функции Soi(с, т)), нормированные условием (1.13), при различных значениях параметра с: а) с=\, б) с=3 (d=arccos
убеждаемся, что 5т!(с, —г|) также будет собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению. Поскольку дискретный спектр оператора Штурма —Лиувилля не может быть вырожденным, функции Sml(c, ц) всегда либо четные, либо нечетные. Четность функции Smi(c, т|) совпадает с четностью числа ее нулей на ин-
*) В монографии Фламмера (1962) в изложении этого вопроса имеется неточность, связанная с неверной нумерацией функций.
34
тервале (—1,1), так что при выбранной нумерации в. у. с. ф. имеем
