Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
В уравнениях (3.7) и (3.8) переменные разделяются. Представим потенциал Р(|, ч) в виде Р(|, т)) =
26
= (7(|)V(r|). Тогда из (3.7) получим систему уравнений (1 - ча)^г V + [X + с2(1 - г)2)] V = О,
(3.9)
(|2 - 1)^- {/ + [- к + с2(|2 - 1)] U - О,
где ?„ — константа разделения. В гл. I, § 1 показано, что решения уравнений (3.9) сводятся к решениям общего сфероидального уравнения (1.1) с индексом т=\ (см. (1.5)). Разделение переменных в случае уравнения (3.8) производится аналогично.
Можно было не вводить потенциалов Р и Q, а получить уравнения непосредственно для компонент поля ?ф и #ф. Они имеют несколько более сложный вид, чем уравнения (3.7) и (3.8).
При наличии сторонних таков задача разделения переменных становится более сложной. Приведем лишь один пример, когда на оси вращения в точке | = |о> ч = 1 находится направленный, по оси вращения электрический диполь, дипольный момент которого равен D. Соответствующая неоднородная система уравнений Максвелла, рассматриваемая, например, в сплюснутых сфероидальных координатах, имеет вид
rot ?=—ikH,
rot Я = ikE + ^3('У+^) б - У б (г) - 1 + 0), (3.10)
где Ь(х—х0)—дельта-функция Дирака. Схема разделения переменных, изложенная выше, приводит к следующему неоднородному уравнению для потенциала Абра-гама Р(%, г)):
(|2 +1)^-Р + (1-г,2)^-Р-г-р2(|2 + г,2)Р =
= -^б^-^о)б(ч-1+0). (3.11)
Переменные в этом уравнении разделяются. Решения разделенных уравнений являются одномерными функциями Грина.
ГЛАВА I
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Элементарные свойства сфероидальных функций
1. Общее уравнение для сфероидальных функций, его преобразования и свойства решений. Сфероидальные функции вводятся как решения (различных краевых задач, порожденных дифференциальным уравнением
17(1 -22) ^.И(2) + Гх + С«(1-2»)—Г5?-]«(2)=0.
(1.1)
Уравнение (1.1) возникает при разделении переменных в уравнении Гельмгольца в сфероидальных координатах (ом. введение).
Изучим сначала некоторые общие свойства решений уравнения (1.1) на комплексной, плоскости 2, считая к и с комплексными параметрами, а т целым неотрицательным числом.
Уравнение (1.1) имеет три особые точки, две из которых: 2=±1 — регулярные с показателями ±т/2 и одна: 2=оо—иррегулярная. В регулярных точках два линейно независимых решения ведут себя следующим образом:
u(2)~(l-22)±m/2, тфО,
(12)
щ(2) ~const, «2(2) — In(1— г2), m=0. v ' '
Поскольку цри целых положительных т разность показателей— целое число, решение, отвечающее меньшему показателю, вообще говоря, содержит еще и логарифмическую особенность. Асимптотическое поведение решений при 2-*-оо в том случае, если сфО, следующее:
u(z)~z-Je*'". (1.3)
Решения уравнения (1.1) — регулярные функции на
28
плоскости с разрезом, соединяющим особые точки. Разрез можно провести, например, вдоль луча (—со, 1). Если в какой-нибудь неособой точке z0 задать начальные условия u(zQ)=a, u'(zo)=b, не зависящие от параметров с и Я, то решение соответствующей, задачи Коши— функция Uq(z, X, с) будет целой функцией переменных Я и с.
В случае, когда т=1, Я=0, решения уравнения (1.1) представляются в элементарной форме
При с=0 уравнение (1.1) совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра.
Уравнение (1.1), так же как и уравнение для кулоновских сфероидальных функций, которое будет рассматриваться в дальнейшем, является частным предельным случаем общего уравнения Гойна с четырьмя регулярными особыми точками (Бейтмен, Эрдейи, т. 3, 1967), полученным при слиянии двух точек.
Решения (1.1) могут быть разложены в ряды по более простым функциям: степеням z, функциям Лежандра, функциям Бесселя и т. д. Коэффициенты этих разложений удовлетворяют бесконечным рекуррентным алгебраическим системам уравнений, простейшими из которых являются трехчленные. Укажем также на существование интегральных соотношений между решениями. Ядра этих соотношений приведены в § 2.
Мы не 'будем здесь более подробно останавливаться на свойствам решений общего вида еффоидальяого уравнения (1.1), поскольку они редко используются на практике. Детальное изложение этих вопросов можно найти в книге Meixner, Schafke (1954).
Рассмотрим простейшие преобразования уравнения (1.1), которые будут полезны в дальнейшем. Замена функции
переводит уравнение (1.1) в следующее уравнение для функции v(z):
(1 -z2)v"(z) - 2(2v+ \)zv' (z) +
u1,2(z) = (l— z2)-me±u\
(1.4)
u(z) = {l— z2)"v(z)
+ X-4v2-2v + c2(l -22)
4v2 — m2 l-z»
?]«W = 0. (1.5)
29
При v = —1/2 получаем уравнение без первой производ-
ной
(1 _ 2») v" (2) + ^ + с» (1 - г») + 1^10 (г) = 0. (1.6)
При v = m/2 приходим к уравнению, которое принято за основу при исследовании сфероидальных функций, в монографии Морса и Фешбаха (1958):
(1— z2) v" (г) —2 (m+1) zv' (2) +
+ [%—т2—/га+са(1 — 22)]и(г)=0. (1.7)
В соответствии с выбором тригонометрических переменных при определении сфероидальной системы координат (см. введение, § 1) часто используются различные тригонометрические и гиперболические замены независимой переменной.
Так, положив z=cos®, получим из (1.5) уравнение
