Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Функции (1—z2)~m/2Smt(p, z) — целые функции на плоскости z, четные или нечетные ib соответствии с четностью /—т. Отсюда следует, что можно аналитически продолжить с. у. с.ф. на полуось |е[1, оо). С точностью до нормировки их асимптотика определяется формулами
1 + 0
Sml {Р, I) = J СП С\ SmliP, t) = jshct\l + 0(jj
I четное,
I нечетное.
(1.34)
Более важными на практике, однако, являются аналитические продолжения на луч (1тг^0, Rez=0). Эти продолжения с точностью до нормировки совпадают со сплюснутыми радиальными сфероидальными фукция-ми первого рода (с. р.с.ф.), которые обозначаются Rmi(pJl) или
Сплюснутые радиальные сфероидальные функции являются решениями дифференциального уравнения
X-p2(l2+l)
Rmi(p,%) = 0, бе [0, со), (1.35)
отличающегося от (1.29) заменой r\-^i-% при значениях X=rKmt(p), где kml{p)—соответствующие собственные значения задачи (1.29) (рис. 7а, б, в). Они нормируются поведением при |->оо
Rml (Р, ® = Щ cos _ L±-! Я) + О (I). (1.36)
43
Используются также сплюснутые радиальные функции второго, третьего и четвертого рода, которые вводятся по аналогии с вытянутыми функциями, т. е. задаются своей асимптотикой
R%) (Р, %) = ^ sin (pi - i±l я) + О (~). (1.37)
Rl) (Р, И) = р\ exp [i (pi - Цр я)] + О (1), (1.38) RiVi (P, il) = ft exp [- i (pi - LLi „)] + О (1). (1.39)
Радиальные функции различных родов попарно линейно независимы при всех значениях параметра р, поскольку вронскианы
1
W{Rml(P,%), (/>,?)) =
W{Rml(p,il), R(%(p,®) =
РЧ1Ч-1)'
P2(i2+ 1) *
(1.40)
P2 (I2 + 1)'
вычисленные по асимптотическим формулам (1.37) — (1.39), отличны от нуля. С. р. с.ф. различных родов связаны соотношениями
Rml {Р, И) = 4 М (Р> ® + R<% (Р> > R%) {Р, ® = 24 М (Р» '?) ~ Rml (Р> И)} •
(1.41)
Аналитическое продолжение с. р.с.ф. второго рода на отрезок [—1,1], соответствующим образом нормированное, называется сплюснутой угловой сфероидальной функцией второго рода и обозначается S^) (р, т)).
4. Некоторые интегралы от сфероидальных функций. Выведем некоторые соотношения, которые связывают интегралы от сфероидальных функций с производными от собственных значений по параметрам. В квантовой механике они обычно называются гипервириальньши соотношениями и используются для контроля вычислений и исследования асимптотических свойств функций.
45
Рассмотрим краевую задачу (1.11) при двух различных значениях параметра с и с'
~(1-Ч«)д| S-i (СИ)+
+ [А, (с) + с2 (1 - г,2) - -г^] Sml (с, Ч) = О,
^(1~П>)/^ы(С',И) +
+ [А, (с') + с'*(1 - г,2) - у^;] Sm/ (с!, Ч) =0.
Умножим первое уравнение на Smi(c', к\), а второе уравнение на Smi(c, rj), проинтегрируем по щ от —1 до 1 и вычтем одно из другого. Получим 1
IKi (с) - {С)] J Smt (с, r\) Sml (J, r\) dr\ =
= (с" - с?) j Sml (с, i\) Sml (с1, r\) (1 - г]а) di\.
—1
Устремив теперь с'-*-с и используя нормировку (1.12), придем к соотношению
Аналогичное соотношение для с. у. с. ф. имеет вид
ГР^ЧГ= 1<1-Ч')Зи<ЛЧ)*1. (1-43)
Из соотношений (1.42) и (1.43) следует, что собственные значения %mi{p) являются монотонно растущими функциями параметра р, a %mi{c) монотонно убывающими.
Если считать в (1.11) т непрерывным параметром, то тем же способом можно получить равенства
Ък ~дт~ = X Sml (°> Ч) —*> <1 -44)
откуда вытекает, что при фиксированном индексе I боль-46
шему индексу т соответствует большее собственное значение %.
Рассмотрим интегралы, в которые оходят различные сфероидальные функции. Возьмем две с. у. с. ф. разной ЧеТНОСТИ Oml (/?, т)) и Smi> (р, т)). Умножим уравнение, которому удовлетворяет Smi(p, ti), на Smi< (/?, т)),а уравнение, которому удовлетворяет Smi'(р,Ц), на Smi(p, т|), результаты вычтем один из другого и проинтегрируем по ц от 0 до 1. Получим
Sml (Р, 0) S'ml. (р, 0) - Sml (Р, 0) Sml' (Р, 0) =
1
= IKl (Р) ~ Ъп1' Ш I Sml (Р, Л) Smr (Р, Т|) йЦ. (1.46)
о
Одно из двух слагаемых в левой части (1.46) обращается в нуль в зависимости от четности I—т. Аналогичная формула может быть получена и для в.у.с.ф.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Первоначальные исследования сфероидальных функций были выполнены в работах Niven (1881), Abraham (1898), Maclaurin (1898), Poole (1923) и др. Первый этап исследований был подытожен в монографии Стретта (1935). Следующий этап нашел отражение в книгах Meixner, Schafke (1954), Фламмера (1962), Stratton и др. (1956) и в общих монографиях по специальным функциям Arscott (1964), Бейтмена н Эрдейи (1967), Морса и Фешбаха (1958). Из них наиболее полное и математически обоснованное изложение принадлежит Мейкснеру и Шефке в частности в их монографии содержится значительно больше сведений, чем в этом параграфе, о заменах переменной и функции в сфероидальном уравнении. Во всех цитированных изданиях рассматриваются, кроме, собственно сфероидальных функций, определенных в этом параграфе, другие решения сфероидального уравнения н их свойства. Система обозначений, принятая здесь, имеет много общего с системой обозначений Фламмера и ряда других авторов н сильно отличается от обозначений Мейкснера н Шефке. Сопоставление обозначений, принятых у различных авторов^ проведено в табл. 1 и 2. Укажем также на недавние обзоры Murakami и др. (1970—1971) и Rhodes (1970), в которых приведены некоторые новые результаты по сфероидальным функциям.
