Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
= [Х> + У* + (г-Щ'\ (1-5)
' 2
Г1 + Гг „ rl — r
й ' 1 d
Часто вместо |, х\ вводят переменные и, v с помощью три гоном етр и ческо й подстановки
? = chu, uGlO, со), л. = cos у, уе[0, л]. (1.6)
Важной, характеристикой криволинейной системы координат являются метрические коэффициенты hit /ц, Л, (коэффициенты Ламе), определяемые следующим образом:
ds2 = dx* + dy* -f dz2 - /ifdg2 + /i^t)2 + hjdq)* (1.7)
(ds — элемент длины).
Для вытянутых сфероидальных координат эти коэффициенты равны
и - d (V-W" и - d /1г-ча У/"
/4=i"l(6'-l)(l-4,)J,'». (1.8)
Элемент объема, вычисленный с помощью метрических коэффициентов, имеет вид
dF = ^-(6«-ti»)d?dtiAp. (1.9)
В пределе при d-»-0, |-»-оо так, что r=d|/2 остается конечным, получаем сферические координаты г, $=v, ф. В пределе при d-+oo, |->-1, т]-»-±1 так, что
P = f-(S2-l)'^4sh"' ^т1
остаются конечными, получаем круговые цилиндрические координаты р, ф, z.
В пределе d-»- 00, т]-»- — 1 так, что (|—l)d=
=2т-, (l-}-4)d=2j;_ остаются конечными, получаем параболические координаты вращения т-, ф-,
2 II. В. Комаров и др. 17
полюс которых находится на оси z в точке z=—d/2. В пределе d-»-oo, т)-»- + 1 так, что (|— l)d=2t+,
(1—т])с/=2т+ остаются конечными, получаем параболические координаты вращения ?+, т+, ф+, полюс которых находится на оси z в точке z=-\-d/2. Отметим, что замена ?-*-»¦ т в параболических координатах эквивалентна изменению направления оси z.
Сплюснутые сфероидальные координаты связаны с прямоугольными координатами формулами
* = 4|(1 (1 — ti2)1«/2 cos q) = р cos Ф,
</ = 4l(1 +&2)(1-^l1'2 sin<p = psinq>, (1.10)
где область изменения |, г| можно выбрать двумя альтернативными способами: случай А
|е[0, оо), т)е[-1, 1], Фе[0, 2л); (1.11а) случай Б
|е(-оо, со), т)е=[0, 1], фе[0, 2л). (1.116)
Формы координатных поверхностей в обоих случаях совпадают, меняются лишь уравнения, определяющие координатные поверхности (рис. 2, а, б).
Для наглядности полезно связать сплюснутые сфероидальные координаты с наибольшим s\ и наименьшим s2 расстояниями от точки х, у, z до окружности радиуса d/2 с центром в начале координат, лежащей, в плоскости ху. Обозначив
Р = (х2 + у*У'2,
«1 = [za + -f -f )2l/2> s2 = [*2 + (р - i )21/2
и введя переменные и, v' с помощью тригонометрических подстановок
chM=i!±i!, Ы€=[0, оо); sini>'=i^p-, У'е[о, ?]'
(1.12)
имеем в случае А
|=chu, t]=cosv' sgnz, (1.13a)
18
в случае Б
?=sh Hsgnz, t)=cosu'. (1.136)
Здесь sgnz=l при г>0 usgnz=—1 при z<0.
ii ,z /y^¦cflS'»/^¦
y=cos »\(sJ \ / n^/7= cos ЯД
*<
\) J -fi
71=-№%1зУ\. I
>^ i ii ts-
Рис. 2. Сплюснутые сфероидальные координаты, определяемые: а) формулами (1.10) и (1.11а), б) формулами (1.10), (1.116). Сечение плоскостью ф=const.
В случае А можно ввести новую переменную v так, что t]=cos y=cos v' sgn z, ve[0, л], (1-14)
т. е. однозначно связать тригонометрическими подста-
2* 19
метками вещественную пару |, т] с вещественной парой ы, v. В случае Б аналогичного преобразования нет, поскольку гиперболические функции от вещественного аргумента веегда положительны. По этой, причине в данной книге мы пользуемся системой А.
Сплюснутые сфероидальные координаты связаны со сферическими следующими формулами:
г = 4(?2-Ц2+ 1)I/2, cosft--^-уть, ф = ф.
(1.15)
Метрические коэффициенты для сплюснутых сфероидальных координат равны
l~ 2 \ I2 + l J ' 4 ~ 2 ^ 1 — л2 j '
/1ф = 4[(62+1)(1-ч2)1,/2, (1Л6)
а вычисленный с их помощью элемент объема имеет вид
dV = -f(l* + 4*)dld4d<p. (1.17)
В пределе при d-*0, |-»-оо,такчто г —¦ (?2+1)1/2=
= -j-ch и остается конечным, получаем сферическую
систему координат г, ¦&=?;, ф.
В пределе при d-*-oo, |-»-0, т]-»-±1 так, что
р =у(1 — Ч2)1/2 = y s'n у» z~~t^ остаются конечными, получаем круговые цилиндрические асоординаты р, ф, z, причем ц = -\-1 соответствует положительной полуоси z, а ц =—1 —отрицательной.
§ 2. Разделение переменных в уравнениях
Гельмгольца и Шредиигера в сфероидальных координатах
Оператор Лапласа с помощью коэффициентов Ламе (1.8), (1.16) выражается следующим образом в вытянутых сфероидальных координатах:
.^«•-1)^ + ^(1-ч-)^ +
^ (i2~i)(i-if) дфа]
20
и в сплюснутых сфероидальных координатах:
A = WWi(|2+1)i+^(1-n2)^ +
, __|Чм?_ JM (22)
Уравнение Гельмгольца
(Д-Ня)Чг = 0, (2.3)
где k — волновое число, допускает разделение переменных в обеих сфероидальных системах координат. Полагая
W==i?(l)S(4)e±im', т=0, 1, 2, .... (2.4)
получаем для функций #(|), S(r\) обыкновенные дифференциальные уравнения. В вытянутых сфероидальных координатах
± (V - 1) -щ R + [- * + с2 (?*— 1) - -^у] /? = 0, (2.5) ^ГО-Ч^^ + ^ + ^О-л»)--^] S = 0, (2.6)
где Я —константа разделения, c=kd/2. В сплюснутых сфероидальных координатах функции Л и S удовлетворяют уравнениям
3g-(?» + i) -^-/м- [-х+р«(?»+ i) + ^Lr]/? = o,
(2.7)
^(1-Пг)^5 + [я-^(1-Пг)-т^г]5 = 0,
(2.8)
где p=kdj2. Собственные функции задач Штурма — Лиувилля, связанных с уравнениями (2.5) — (2.8), составляют предмет главы I.
