Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Асимптотические разложения решений задачи двух кулоновских центров при R-+-oo........203
1. Асимптотические разложения &mq{P, 2рр; Г)) и IJmfc(p, 2ра; ?) и соответствующих им собственных значений' \ при р -* оо (203). 2. Энергия системы Z\eZ2 при «-*oo (218).
Библиографические указания.......226
4
к S Асимптотические разложения решений задачи Z\eZ2 при
S ' R-+U...............227
I, Теория возмущений для оператора энергии (227). 2, Разложения у. к. с. ф. н р. к. с. ф., необходимые для анализа системы ZieZt при R -*¦ О (229). 3. Основное состояние системы ZteZa при малых R (231).
Библиографические указания.......233
§ 6. Квазиклассическая асимптотика решений задачи Z{eZ2 233 Библиографические указания.........238
§ 7. Слабосвязанные состояния в поле конечного диполя 239 1. Постановка задачи (239). 2. Асимптотика р. к. с. ф. XImk (Р. 0; \) и собственных значений \^ (р, 0) при р ->-0
(239). 3. Асимптотика у. к. с. ф. Е,П(?(р, 6; Т)? и Kmq (р, Ь) прн Ь-*оо(246). 4. Энергетический спектр системы вблизи ?-0 (250).
Библиографические указания........252
§ 8. Связь задачи ZieZ2 с одноцентровой кулоновской задачей 252 1. Оператор константы разделения (252). 2. Водородоподобный атом в сфероидальных координатах (256). 3. Элементарные решения в задаче ZieZ1 (261). 4. Кулоновскне сернн в системе ZxeZi (263).
Глава III. Обзор физических приложений......265
§ 1. Применения сфероидальных функций, связанные с разделением переменных в акустических и электродинамических задачах..........265
1. Обзор литературы (265). 2. Поле вертикального электрического диполя, расположенного на оси вытянутого сфероида (266). 3. Собственные колебания типа «прыгающего мячика» внутри сплюснутого сфероида (269).
§ 2. Применения сфероидальных функций, связанные с интегральными уравнениями.........271
1. Принцип неопределенности в оптике и радиотехнике (271).
2. Восстановление структуры объекта по изображению (275).
3. Задача синтеза линейной антенны (27S). 4. Собственные колебания конфокального открытого резонатора (283).
Библиографические указания........ 286
§ 3. Рассеяние «а потенциалах, допускающих разделение переменных в сфероидальных координатах .... 287 Библиографические указания........ 293
§ 4. Применение решений задачи двух центров в задаче трех
тел, взаимодействующих по закону Кулона . . . 294
Библиографические указания........299
Литература........... 301
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Сфероидальные функции обязаны своим появлением в математической физике разделению переменных в уравнении Гельмгольца в координатах вытянутого и сплюснутого сфероидов. До последнего времени основной областью применения сфероидальных функций были задачи дифракции ,на вытянутом и сплюснутом сфероидах, теоно связанные с разделением переменных. Вторую жизнь обрели сфероидальные функции, когда была подробно проанализирована их связь с преобразованием Фурье ,в конечных пределах и установлено свойство двойной ортогональности вытянутых радиальных сфероидальных функций. Именно благодаря этим свойствам сфероидальные функции стали широко использоваться в таких далеких от задач дифракции на сфероидах областях, как теория синтеза антенн и теория изображений.
Родственные сфероидальным функциям кулоновские сфероидальные функции возникают при решении кван-товомеханичеокой задачи о движении заряженной частицы в поле двух кулоновских центров. Простейшей, задачей такого рода является задача о ионе водорода Н+.
Исследование сфероидальных функций значительно сложнее исследования таких широко распространенных специальных функций., как функции Бесселя или функции Лежандра. Основная причина этого — отсутствие у сфероидальных функций достаточно простых интегральных представлений. Метод Лапласа, применяемый, при решении дифференциальных уравнений второго порядка, обычно дает удобные для исследования интегральные представления специальных функций. В случае сфероидальных функций, метод Лапласа приводит к интегральному уравнению. Но именно это интегральное уравне-
6
ние, заменяющее собою интегральное представление сфероидальных функций и тем самым значительно усложняющее их исследование, замечательно тем, что оно устанавливает связь сфероидальных функций с преобразованием Фурье в конечных пределах.
Полное изложение многочисленных свойств сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций и их приложений потребовало бы объема значительно большего, чем объем настоящей «миги. Авторы не ставили перед собой задачи написать монографию энциклопедического характера, подобную «Теории беоселевых функций» Г. И. Ватоона или «Теории сферических и эллрипсо-идальных функций» Е. В. Гобсона. Книга трех авторов содержит лишь .основные сведения ,по теории сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций. В ней изучаются только такие сфероидальные и кудоновские сфероидальные функции, которые являются собственными функциями краевых задач штурм-лиувиллевского типа и зависят от двух целочисленных индексов. Краевые условия, которым удовлетворяют угловые сфероидальные функции, естественным образом возникают из условий, периодичности и условий ограниченности 'решений в особых точках уравнения. Радиальные функции, как правило, задаются своей асимптотикой, »а бесконечности. При этом следует отметить, что треть книги посвящена приложениям сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций к различным задачам квантовой механики и математической, физики.
