Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
В первой главе книга рассматриваются основные свойства сфероидальных функций, зависящих от двух целых индексов. Здесь излагаются общие свойства сфероидальных функций, интегральные уравнения и интегральные соотношения для сфероидальных функций, строятся разложения сфероидальных функций в ряды по более простым функциям. Много внимания уделено различным асимптотическим представлениям сфероидальных функций.. В этой своей части глава содержит новые результаты, публиковавшиеся ранее лишь в периодической литературе. Асимптотика сфероидальных функций при больших значениях параметра разделения строится двух видов: равномерная и локальная. При получении равномерной асимптотики, пригодной навеем промежутке изменения независимого переменного, используется метод эталонного уравнения. Локальная асимптотика
7
строится в окреспностях особых точек уравнения и точек поворота, и затем полученные выражения сшиваются с обычной ВКБ-асимптотикой или друг с другом. Метод эталонного уравнения и техника сшивания локальных асимптотик — эти общие приемы построения асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений — получают на страницах книга дальнейшее развитие.
Во второй главе суммируются результаты, полученные в настоящее время в теории кулоновских сфероидальных функций и в квантовомеханической задаче двух центров. Авторы проделали большой труд по сведению воедино многочисленных публикаций, связанных с задачей двух центров, и приданию всему изложению логической, стройности и последовательности.
Задача двух центров — одна из нестареющих задач квантовой механики. Впервые эта задача была поставлена» двадцатые годы как задача об уровнях энергии молекулярного иона водорода. Тогда же были введены угловые и радиальные кулоновские сфероидальные функции, играющие при решении задачи двух центров ту же роль, что и сферические функции м функции Ла-герра в задаче о движении электрона в кулоновском поле точечного заряда. Однако большого прогресса в решении задачи двух центров в предвоенные годы достигнуто не было главным образом из-за ограниченности вычислительных возможностей того времени. Возрождение интереса к задаче двух центров в последнее двадцатилетие объясняется «е только появлением ЭВМ и теми успехами, которые к этому времени были достигнуты в асимптотических методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но и потребностями квантовой химии и мезоаггомиой физики. Новые результаты были получены как в самой задаче о молекулярном ионе водорода, так и в задаче двух центров с различными зарядами.
Задача двух центров была предметом исследований всех авторов книги, и именно эта задача соединила их в авторский коллектив. Интересы авторов удачно дополняют друг друга. Это позволило дать изложение задачи двух центров во второй главе книги с трех взаимно дополняющих точек зрения: непосредственно квантовомеханической, математической и вычислительной. В этом отношении наиболее характерным является
8
вопрос о квазипересечении термов в задаче двух центров, вопрос, который в одинаковой. атапенИи интересен и для физика-теоретика и для математика.
Третья глава книги вводит читателя в широкий круг вопросов современной, физики, в которых используются сфероидальные и кулоновокие сфероидальные функции.
В первую очередь это задачи дифракции скалярных и электромагнитных волн -на вытянутом и сплюснутом сфероидах вращения. В книге ставится соответствующая задача дифракции, в осеоимметрическом случае выписывается в виде рядов по сфероидальным функциям ее решение и приводится обзор литературы. Полезно обратить внимание читателя, особенно молодого, что, несмотря на большое число работ по исследованию точного решения, еще не все закономерности поведения волнового поля установлены. В частности, остается не изученной коротковолновая асимптотика волнового поля, рассеянного сплюснутым сфероидом, толщина которого соизмерима с длиной, волны. Такая асимптотика позволила бы проследить очень важный в практическом отношении и не менее интересный с теоретической, точки зрения процесс формирования краевой волны, которая возникает при сжатии сфероида и хорошо известна в предельном случае дифракции на диске.
В этой главе описывается также применение сфероидальных функций в задачах на собственные колебания открытых резонаторов, которые являются неотъемлемой частью лазеров, получающих все более и более широкое распространение.
Примеры использования сфероидальных функций в радиотехнике и оптике дают разобранные в третьей главе книги задачи о связи между длительностью сигнала и шириной его спектра, о восстановлении структуры объекта то его изображению и о синтезе линейных антенн. Помимо постановок соответствующих задач, здесь описываются основные идеи их решения и приводятся наиболее важные формулы.
Применению кулоновских сфероидальных функций посвящены два последних параграфа главы. В одном из них разбирается квантовомеханическая задача о рассеянии частицы на сферически несимметричном потенциале, допускающем разделение переменных в сфероидальных координатах. В другом — обсуждаются примеры использования разложения по кулоновским сфе-
