Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
1*х = e'"v, м-2 = e-'*v+i)f (1.27)
где величина v, заданная с точностью до аддитивного слагаемого 2k, ?=±1, ±2, ..., определяет характер многозначности решений уравнения (1.1) в окрестности точки z=co и называется показателем характеристической экспоненты. Общее решение «(z) уравнения (Г.1) при l<|z|<;oo может быть представлено в следующем виде:
ОО Об
и(г) = сх2? 2 akz* + c2z-v~l 2 bkzk.
fee—со fe=—со
Величина v является аналитической функцией парамет-
38
ров Я и с. Собственные значения 1т1(с) задачи (1.11) могут быть определены как корни уравнения
v(K,c)=t—m. (1.28)
Более подробные сведения о свойствах характеристической экспоненты и ее применении приведены в книге Meixner, Schafke (1954).
3. Сплюснутые угловые сфероидальные функции (с. у. с. ф.) и сплюснутые радиальные сфероидальные функции (с. р. с. ф.). Сплюснутые угловые сфероидальные функции (су. с. ф.) определим как собственные функции задачи Штурма — Лиувилля.
{%-L)u(v)-±(l-V?)±u(v) +
+ ^-ра(1-п2)-т~-2]"(т1) = 0, |и(± 1)|<со, (1.29)
которая отличается от (1.11) формальной заменой р= = ic(p^0), и обозначим*) Sml(p, г\).
Существенно, что здесь и в дальнейшем замена с-*-р сводится не к переобозначению параметра, а отвечает переходу к другому типу функции. Таким образом, условимся, что у нас будут величины с-типа, которые в данной главе связаны с разделением переменных в вытянутых координатах, и величины р-типа, которые связаны с разделением переменных в сплюснутых координатах.
Нумерация функций Sml(p, г\) задается условием,что на интервале (—1,1) они имеют /—пг нулей, так что всегда l^m.
Соответствующие собственные значения Кт,(р) (разумеется, они отличны от собственных значений hmi(c)
*) Переход в обозначениях от вытянутых функций к сплюснутым осуществляется у многих авторов (Морс и Фешбах, 1958, Meixner, Schafke, 1954) комплексификацией параметра: с—»—ic, Smj(с, т))—*-Smi{—id, т|). Здесь введено новое значение параметра и он сохранен вещественным с —>- —ip —>- р, чтобы связать обозначения, принятые в теории сфероидальных функций с квантовомеханиче-ской терминологией, упростить запись и сделать вытянутые и сплюснутые функции равноправными. Поскольку в каждом конкретном контексте указывается,- о каких функциях идет речь, некоторое неудобство, связанное с тем, что при подстановке численных значений параметра в. у. с. ф. и с. у. с. ф. неразличимы, мы считаем не слишком существенным. Связь обозначений сфероидальных функций, принятых в книгах различных.авторов, приведена в табл. 1 и 2.
39
Таблица 1
Угловые функции Радиальные функции Число нулей угловых функций на (-1, О Нормировка угловых функций
В данной книге Smi(c, Т|) й «=1,2, 3,4 1—т ,. 5т1(с,л) , lim —, = 1 n-*o P?(r))
В дайной книге Sml{C, Т|) 1—т j" S2ml(c, T|)dr,= l — l
Meixner и Schafke (1954) ре? (Л. V2) S^(/)(S, V) /=1,2,3,4 п—т ]1К(л,^)]2^ = 2-^Гг^|
Stratton и др. (1956) 1 n^'^i ч-о Я»+|(Т1)
Фламмер (1962) Smn (С, Tj) п—т limSm"(C'rr,) 1
Морс и Фешбах (1958) Smi(h, n) jemi{h, \) nemi(h, I) hemt{h, i) 1—т ,. Sml(A,t,) _
Основные системы обозначений для вытянутых сфероидальных функций
Таблица 2
Угловые функции Радиальные функции Число нулей угловых функций на (-1, 1) Нормировка угловых функции
В.данной книге Smi{p, т|) t=l,2, 3,4 1—т hm —-—-= 1 „^1_0 Pf(Tj)
В данной книге Sml(P, Т|) 1—т i J S2m,(p. —l
Meixner н Schafke (1954) ps™(r,, -V2) /=1,2, 3,4 п—т г г ™ ,19 2 (га + т)!
Stratton и др. (1956) л) 1 I'm ——-= 1 ч-о /?S+,(n)
Фламмер (1962) •Sm„(—ic, т|) n—rti
Морс и' Фешбах (1958) $7ni{ig, Л) /<?mi(fe. — il) nemt(ig, —il) hemi(ig, —i\) 1—т ,. Smt(ig, г)) , hm---= 1 „-И-О P?(n>
Основные системы обозначений для сплюснутых сфероидальных функций
задачи (1.11)) возрастают с увеличением индекса-/,причем hmiip)-?^—* оо• Зависимость Кп,г(р) от индекса / и параметра р показана на рис. 3 и 4.
В § 5 показано, что при больших значениях параметра р с. у. с. ф. экспоненциально убывают от точки т)=1 к точке т)=0. Для того чтобы иметь 'возможность сопоставлять значения функций при больших и малых значениях р, удобнее с. у. с. ф., в отличие от в. у. с. ф.,
Рис. 6. Функции S0i(p, т)) при значениях параметра р—1 и р=3. Функции нормированы по Фламмеру (табл. 2).
нормировать условием при т|=1. Поэтому примем следующую нормировку, используемую в монографии Морса и Фешбаха (1958): [(1 _ т|«)~*/2 Sml (р, Т1)]ч_,
-[(1_^яГ(л)]^-1-=5±^. (1-30)
Наряду с функциями Sm[(p, г\) будем рассматривать функции Smi(p, т)), нормированные условием 1
f [SmJ(P,r))l2dri = l- (1.31)
Так же как в формуле (1.14), введем коэффициент Nml(p):
Sm,(P, i\)=Nm,(p)Sml{p, Ц)- (1-32)
На рис. 6 приведены примеры функций S0i{p, т)).
42
При фиксированном индексе т функции Sm,(p, т)) образуют полную ортонормированную систему в
В предельном случае р = 0 с. у. с. ф. переходят в присоединенные полиномы Лежандра
Smi(0,T)) = Pf(T)).
(1.33)
Явные выражения через элементарные функции при частных значениях тир типа (1.16) для е.у.с.ф. неизвестны.
