Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
9
роидальным функциям в задаче трех тел, взаимодействующих по закону Кулона.
Книга содержит многочисленные таблицы. Это и таблицы коэффициентов различных асимптотических рядов для сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций, и таблицы термов в задаче двух центров и ряд других таблиц. Особенно полезной для читателя является таблица, в которой приводятся обозначения сфероидальных функций, встречающиеся у различных авторов, и указывается их связь с обозначениями, примененными в книге.
Книга И. В. Комарова, Л. И. Пономарева, С. Ю. Славянава — первая монография ib отечественной литературе, посвященная сфероидальным функциям, и первая монография в мировой литературе, в которой последовательно излагаются свойства кулоновских сфероидальных функций и их применение в задаче двух центров. Она, несомненно, будет полезной как для физиков-теоретиков, занимающихся задачами квантовой механики и квантовой химии, так и для специалистов по прикладной математике, работающих в области теории распространения и дифракции волн, теории синтеза антенн оптического изображения и т. д.
В. С. Булдырев
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сфероидальные и родственные им кулоновские сфероидальные функции — важный класс специальных функций математической физики. Они находят широкое применение в задачах радиофизики (дифракция электромагнитных волн, теория антенн и резонаторов и т. д.), в оптике (теория шумов в оптических системах, принцип неопределенности в оптике и радиотехнике), в квантовой механике (задача двух центров, задача трех тел, рассеяние на молекулах и т. д.).
По сравнению с «классическими» специальными функциями сфероидальные функции обладают рядом особенностей, .которые до последнего времени затрудняли их подробное исследование.
Специальные функции вводятся как решения уравнений математической физики в различных системах криволинейных координат. Например, функции Бесселя Jt(kx) и сферические функции Бесселя jt(kx) являются радиальными частями решений уравнения Гелымгольца
(A-H2)u=0 (1)
в цилиндрической и сферической, системах координат соответственно; сферические функции Yf (f>, ф) определяются как угловая часть решений уравнения (1) в сферической, оистеме координат и т. д.
С точки зрения теории групп все эти специальные функции являются матричными элементами операторов неприводимых представлений группы движений трехмерного пространства, а их различия обусловлены разным выбором параметров в группе, соответствующих различным разложениям группы движений пространства на од-нопараметрические подгруппы.
Сфероидальные функции вводятся как решения уравнения (1) в сфероидальных координатах. Однако в
11
сфероидальной системе координат нельзя осуществить разложение группы движений трехмерного пространства на однопараметрические подгруппы. Как следствие этого факта «радиальная» и «угловая» части решений уравнения (1) оказываются существенно связанными между собой не только через константу разделения, но и через энергетический параметр k. Поэтому для сфероидальных функций отсутствуют рекуррентные соотношения, представления через производящую функцию и другие овойства, характерные для классических специальных функций. Отмеченные особенности затрудняют их изучение и применение.
Существенным препятствием для широкого практического применения сфероидальных функций долгое время являлась необходимость составления для них обширных таблиц. Однако при современном состоянии вычислительной математики и развитии быстродействующих ЭВМ такая необходимость отпала, поскольку эффективные алгоритмы позволяют вычислять их по мере надобности, не обращаясь к громоздким таблицам.
Классические монографии по сфероидальным функциям (Meixner и Schafke, 1954, Фламмер, 1962) стали в настоящее время библиографической редкостью. С другой стороны, в последние годы появилось много работ, в которых развиваются теория и методы вычисления сфероидальных и родственных им функций, причем значительное число работ опубликовано в малодоступных изданиях. Кроме того, эти работы не отличаются единством подхода, поскольку методы, в них развитые, большей частью приспособлены для решения конкретных физических задач.
Предлагаемая монография ставит своей целью с единой точки зрения изложить основные результаты, достигнутые к настоящему времени в теории и практике сфероидальных и родственных им кулоновских сфероидальных функций. Она задумана как краткое справочное издание, поэтому в ней относительно мало внимания уделяется строгим математическим доказательствам. Основная часть книги посвящена задачам Штурма — Лиу-вилля; почти все вопросы, связанные с сингулярными решениями рассматриваемых уравнений, опущены. В книге также не рассматривается теория функций Матье, которые хотя и являются частным случаем сфероидальных функций, однако обладают рядом специфических
12
свойств, благодаря которым они давно стали предметом специальных исследований.
В данной монографии впервые последовательно определяются кулоновакие сфероидальные функции как решения шантовомехянической задачи о движении частицы в поле двух кулоновоких центров, удаленных на расстояние R, в сфероидальной системе координат (по аналогии с кулонавокими функциями, которые определяются как решения радиальной части уравнения Шредин-гера для атома водорода в сферической системе координат). В книге подробно изложены различные алгоритмы их вычисления — вплоть до деталей их практической реализации на ЭВМ.
