Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Комаров И.В. -> "Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции" -> 10

Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.

Комаров И.В. , Пономарев Л.И., Славянов С.Ю Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции — М.: «Наука», 1976. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): komarov_sferoidal_fnktsii1976.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 88 >> Следующая

Из аналитических свойств дифференциального уравнения (1.11) следует, что функции (1—z2)-m/2Sm,(c, z)— целые функции на плоскости z. Таким образам, при четных т о. у. с. ф. допускают единственное аналитическое продолжение на полупрямую |е[1, со), а при т нечетных для такого продолжения надо предварительно зафиксировать значения (1—z2)m/2 на верхнем берегу разреза [—1, 1], например считать их положительными.
Аналитическое продолжение в. у. с. ф. на полупрямую |<=[1, оо), определенным образом нормированное, называется вытянутой радиальной сфероидальной функцией первого рода (в. р. с. ф.) и обозначается Rmi{c, |)
или R№i(c,l).
Иначе в.р.с. ф. Rmi(c, |) можно определить как решения уравнения
^(5»_l)^/?mJ(cf© + [-XmJ(c)-|-
+ с» (Р - 1) - ^2L_j Rml (с, I) = 0, ? «= 11, оо), (1.17) конечные в точке |=1 и нормированные поведением
при |—>¦ ОО.
В § 2 показано, что при фиксированном отличном от нуля с и вещественном z функции Sm!(c, z) имеют с точностью до нормировки следующее асимптотическое поведение*) при z->-oo'.
5т,(с,г)~^соз(Сг-Шп). (1.18)
Будем нормировать функции Rml{c, \) условием
#«/ {С I) = ^cos {cl -1 + 1 я) + О (1). (1.19)
Формул'а (1.19) приводит к важному свойству ортогональности в. р. с. ф. на полуоси [1, оо) при различных
*) На первый взгляд формула (1.18) противоречит свойствам четности в. у. с. ф. Все дело в том, что при нечетных m аналитическое продолжение (1 — z2)m<'2 с полуоси [1, оо) на полуось (—оо, —1] происходит с изменением знака у функции.
I одинаковой четности и одинаковых т. Действительно, рассмотрим выражение
ОО
оо
- (Кг ~ Kl) I Rml (С ?) Rmf (С, I)
где L—дифференциальная операция из (1.11) с заменой независимой переменной ц на |. Проинтегрировав по частям и приведя подобные члены, получим
Если система функций ортогональна на двух различных промежутках, то говорят, что она обладает свойством двойной ортогональности. Поскольку в. р. с. ф. и в. у. с. ф.— это по существу одни и те же аналитические функции, рассматриваемые на разных промежутках, то из (1.20) и четности в.у.с. ф. следует свойство двойной ортогональности вытянутых сфероидальных функций па промежутке [—1,1] и на всей действительной оси.
Помимо радиальных функций первого рода, на практике требуются еще функции второго, третьего и четвертого рода, которые определяются как решения дифференциального уравнения (1.17) при X=Xmi(c) со следующей асимптотикой при |->со:
со
,Um/M Rmr(c,l)dl=-
1
-|(l-a[/?«/(c,l)^/?m/'(c-, ?)
-tfmi-(c,g)j|/?mj(c,$)]}"
-0. (1.20)
i(c, i) = ^exp
п(с|-Шп) + о(1), (1.21)
:р[/(с|-ЦгЦ] + о(1), (1.22)
:р[-ф-ЧгЧ] +o(^). (L23)
36
Очевидно, что
*«« (с, г)=4 ю (с> и f #«1 (с ю].
, (1-24)
/?Ш (с, I)=2Г М (с- а - яй) (с. ю] •
Вронакианы в. р. с. ф. первого, второго, третьего и четвертого рода, вычисленные по их асимптотическому поведению, равны
W[Rm,(c,$, /?Ш(С?))=^(!г!г1у.
W [Rml (с, I), /&3) (С D) = FT^rrTf (1-25)
Г (tfmJ (с, I), /?$ (с, I)) = ттдпЬу.
так что эти функции линейно независимы попарно при всех с.
Непосредственный предельный переход с-*-0 для радиальных сфероидальных функций обычно не рассматривают, поскольку он приводит к потере характерных свойств этих функций. Если сделать предварительное преобразование масштаба в дифференциальном уравнении |->-|/с и уже затем положить с=0, то получится уравнение
!^у(?) + [-х + ?>1у(1) = о,
решения которого можно выразить через цилиндрические функции Zv(|):
Это обстоятельство используется при выборе базисного набора функций при разложении в.р. с. ф. в ряды.
В частном случае с=/п/2, т=1, т. р. с. ф. представляются в явном виде
^^T.^T^—t-s^Ci-n-f]. (1.26)
Аналогичные формулы, основанные на равенстве (1.4), можно написать и для функций второго, третьего и четвертого рода.
На промежутке [—1,1] в качестве второго решения дифференциального уравнения, линейно независимого
37
с 5mi (с, ц), можно взять соответствующим образом нормированное аналитическое продолжение по аргументу в. р. с. ф. второго рода. Такие решения называются в.у.с.ф. второго рода и обозначаются S%](c, С учетом нормировки определение этих функций удобно дать в § 3.
Остановимся на понятии характеристической экспоненты, с которой иногда связывают определение сфероидальных функций. Зафиксируем при произвольном К некоторое решение «(z) уравнения (1.1). Очевидно, «(zefa) также будет решением в силу инвариантности уравнения (1.1) по отношению ik замене z-»—z.
Таким образом, с преобразованием г-»-ге'я можно связать линейный оператор В, действующий ib линейном пространстве, образованном двумя линейно независимыми решениями уравнения (1.1) по правилу Bu(z) = = и(ге'я). Выберем базисные решения, заданные в некоторой точке z0, |г0| >1, следующим образом:
«1 (го) = 1» "|(го) = °. "2 (го) = 0. «2(Z0) = 1 •
Собственные значения |Xi,2 оператора В являются корнями следующего уравнения:
«i(v'*)-H в, (v'*) = - и\ {z0ein) — «2 (г0е(Я) - ц
= (г2 + р («2 (г0е'я) - их (г0е'«)) -1=0.
Предположим, что это уравнение имеет два различных корня. Тогда собственные значения Ц1>2 можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed