Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
0 ' *i + Ь2 + . • • Ъа +
°0 + р^рА+ ¦¦¦~р~ь^'-' ( '
66
где риРг, ¦ ¦/Л.,••¦—любые отличные от нуля числа. С помощью преобразования (3.6) можно перевести цепную дробь (3.3) в обыкновенную цепную дробь вида
К° «1+ «2+ • • • а„+ •"'
где
а0 = b0, a2fc_i
Равенство Ь,
J2k— 2°2fe— 1
ata3 ... a2k_.
a2k
«o=^ + ^...e+... = &o + ^F...fl-27Tr;. (3-8)
(3.7)
flifl3 ... a2k_ib2k a2... a2k
где
+
(3.9)
позволяет частично «обернуть» цепную дробь, а именно выразить остаток гк через исходную цепную дробь а:
6t а
Я*-2
+
(3.10)
В качестве примера использования цепных дробей рассмотрим вычисление бесконечного трехчленного определителя вида
Р, —X а0 0 0
v, Pi — >. «1 о
0 v2 Ра — Я. a2
(3.11)
Применяя формально правила действия с конечными определителями, получим
/o=(Po-X)/i-ooTfi/2, (3.12)
где /i и J2 — определители той же структуры, что и /о,
получающиеся последовательным вычеркиванием левого
столбца и верхней строки. Аналогично
/п= (&п — Я)/п+1 — anYn+i^n+2.
(3.13}
5'
67
Предполагая, что Zi^O, получаем из (3.13) представление IB виде бесконечной цепной дроби *)
Равенство нулю определителя /0 эквивалентно обращению в нуль цепной дроби (3.14).
2. Разложения угловых сфероидальных функций по присоединенным полиномам Лежандра. Разложение в ряд по присоединенный!! полиномам Лежандра является наиболее важным для угловых сфероидальных функций ка:к с точки зрения исследования их свойств, так и для вычисления их числовых значений. Довольно часто всю теорию сфероидальных функций строят на основе этих разложений.
Учитывая свойства четности, представим в. у. с. ф. в виде
ОО
Smt(c,r\)~ 2' d"rlt(c)PZir(r\), (3.15)
где штрих над знаком суммы указывает здесь и в дальнейшем, что суммирование идет по целым г той же четности, что и число q—l — т. Аналогичное разложение запишем н для с. у. с. ф.
со
Smt (Р, = 2' df (р) Рт+г (Л), (3.1 6)
г=0,1
причем, разумеется, коэффициенты d™l{p) отличны от df(c).
Разложения (3.15) и (3.16) можно понимать как ряды Фурье по полной системе функций Р^+г Ol) на промежутке [—1, 1]. При этом коэффициенты df1 являются коэффициентами Фурье и сходимость понимается в смысле равномерной сходимости рядов Фурье. С другой стороны, после выделения множителя (1—г\2)т/2 разложения (3.15) и (3.16) можно рассматривать как разложения целой функции в ряд по полиномам п исследовать сходимость на комплексной плоскости аргумента. Заметим, что ряды (3.15) и (3.16) можно дифференци-
*) При /] = 0 цепная дробь (3.14) будет несущественно расходящейся.
68
решать с сохранением сходимости произвольное число раз.
Будем подробно рассматривать только разложение (3.15), поскольку все результаты, относящиеся к разложению (3.16), .могут -быть получены формальной заменой с2->—р2 и изменением нормировки функций.
Подставив ряд (3.15) в дифференциальное уравнение (1.11) и воспользовавшись уравнением для Рт+Г(г\)
+
получим
(т + г)(т + г+ 1)-г^!|^т+г(Л) = 0,
2' |Яы + с2(1 -т12)-
г=0,1
-(т + г) (т + г + 1)1 <Г (с) Р?+г (Л) = 0. (3.17)
Из рекуррентного соотношения для присоединенных полиномов Лежандра
(2т + 2г + 1)г|Р?+г(г|) =
= (r + 1) Р?+г+. (л) + (2т + г) Р?+г+, (л)
легко выводится равенство
Т12Рт, (п)__+ 0 (Г + 2)_рт /-,4 1
Л (Л) - (2,л _|. 2г + 1) (2т + 2г -|-3) ^«+Н-2 ^ ^
. (т 4- /•) (т + г — 1) рт ,
(2т;+ 2r + 1) (2т + 2г + 3) ^"И-г-а -г
, 2г (2т -'- /• + 1) + 2т - 1 рт . . ,~ т + (2т + 2r -1-3) (2т + 2г - 1) r*+rW)- ^¦lo>
В силу линейной независимости Рт+Г(г\) при различных г из (3.17) с использованием (3.18) получаем при каждом фиксированном т две бесконечные трехчленные системы линейных уравнений для коэффициентов d™1 (с) отдельно для четных и нечетных /—т
Ard?i% (с) + (В, - Ят1) df (с) + (с) = 0, (3.19)
69
где
л (2m + л + 2) (2т + г + 1) а
Л' ~~ (2т + 2л + 3)(2т + 2л+-5) с * (3.20)
Я /т | rwm | г 1 П 2сМ(/- + т)(г-|-т + 1) + /яа-1] Яг.-(т + г)(т + г + 1)--(2т + 2г + 3)(2т + 2г-1) •
^ _ г(л-1) ^ d1l2(c)^dl\(c) = 0.
(2т + 2л — 3) (2т + 2л — 1)
Для коэффициентов dmt (р) получаются те же уравнения (3.19), но коэффициенты Аг, Вг и Сг отличаются от (3.20) заменой с2 на —р2. В дальнейшем исследовании не будет использоваться специфика коэффициентов АТ, Вг, Сг (кроме асимптотического поведения при г-*-оо), так что оно будет общим для всех трехчленных рекуррентных систем, которые нам, встретятся.
Прежде всего заметим, что системы (3.19) определяют коэффициенты dTl(c) с точностью до множителя, •который задается нормировкой в. у. с. ф. Принимая нормировку (1.13), получаем соотношения
(- \)г'2 (л + 2m)l ,ml¦ (-1)»-»»)/2 (/ + т)\
I — т четное,
(3.21)
Г—1
СО
1 *'(^Н^+'
l—m—l
(-D
(l + m+ 1)!
l-m-l\(l + m+ „
, l — m нечетное.
Нормировочный коэффициент Nm,(c) из (1.15) определяется через коэффициенты d^l(c) следующим образом:
Nmi(c)
2' №'(c)Y J [PZ+r(xj\2dx
r=--o,i
1/2
V (Jml'„\V 2(2т + л)! lAi ml(2m +2л+ 1)
1/2
(3.22)
70
Выразим еще величину Xmi(c), входящую ib интегральное представление в. р. с. ф. (2.10) и определяемую формулами (2.11) и (2.13), через коэффициенты df (с):
