Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Y1
F(x) = (' eixx'f(x')dx', -Y'c
где функции /(xjE^f-Ус, уё) (Rhodes, 1965).
Из унитарности преобразования Фурье следуют оценки для собственных значений ц,
(с)| < |ц, (с)| -> V2H. (2.23)
1 С~> со
Более точные асимптотические формулы, характеризующие поведение \ii(c) при с->оо лолучаются в § 5 на основании формулы
\ii (с) = il ]^2я ехр
которая вьиводится аналогично более общему выражению (2.18).
Собственные значения ц,(с) не вырождены и упорядочены таким образом, что | Цо| > I Hi | > | Цг| >• • • с точкой сгущения в нуле. Докажем сначала способом от противного невырожденность. Пусть собственному значению Hi отвечают две функции ipi(c, х) и ^(с, х), причем они должны быть одной четности, поскольку четным i|)i(c, х) отвечают вещественные ц,, а нечетным ф,(с, х)—мнимые ц(. Продифференцируем интегральное
с УС
(2.24)
55
равенство (2.21) для ^(с, х) но с:
У7
Ь (С х) + Pi jcti (С х) = J е'"' iL^ (с, х') dx' + + -i^ ^ y7) + e-'^ *t (с, - Vc)]. (2.25)
Существование производной -j^ ^г (с, x) следует из
невырожденности собственных значений соответствующего дифференциального оператора. Получившееся равенство можно рассматривать как неоднородное интегральное уравнение относительно производной -^-ipi (с, х).
Необходимым условием его разрешимости является ортогональность свободного члена к функциям, api(c, х) и tp2(c, х). Условие ортогональности к функции ^{с, х) запишется в виде
V7
Ф- f (с, х) Ь (с, X)dx-^r гра (с, V~c) Ч»А [с, V~c) = 0. -VI у с
(2.26)
Из поведения в.у.с.ф. в граничных точках следует,что tpi(c, У7)=7^0- Кроме того, (Xi =7^=0. Функции же ор^с.х) и ipV(c, х) ортогональны. Таким образам, предположение о вырождении привело к противоречивому равенству (2.26).
После того как доказана невырожденность ц., <с) при всех с, упорядоченность |цг(?)| следует из анализа их поведения при малых с (ом. § 4).
Пусть Г —интегральный оператор в (2.21), а Г* — оператор, эрмитово-сопряженный с Г (в рассматриваемом случае комплексно-сопряженный). Тогда интегральному оператору Т*Т отвечает уравнение
^Ысх)= t *%Cx%X,)bic,x)dx'. (2.27) -VI
Ядро уравнения (2.27) самосопряженное, ограниченное по аргументу и разностное. При с-*-со оно переходит в дельта-функцию. Поведение собственных значений ин-
56
тетрального уравнения (2.27) в зависимости от параметра с показано на рис. 8.
4 8 /2 IB 20 21 с
Рис. 8. Собственные значения |Ц((с) |2/(2л) интегрального уравнения
(2.27).
3. Другие типы интегральных уравнений и соотношений для сфероидальных функций. Прежде всего заметим, что если в правой части уравнения (2.10) интегрирование производить не по отрезку [—1, 1], а по лучу Re/=1, Im/^0 либо по лучу Re t=—1, Imr^O, то получившиеся интегралы также будут удовлетворять уравнению для вытянутых сфероидальных функций, но не будут ограничены при |=1. Это следует из анализа выражения (2.4) и асимптотического поведения в. у. с. ф. (1.18). Вычислив интегрированием по частям асимптотику соответствующих интегралов при ?->оо и сравнив с асимптотикой (1.22) и (1.23), найдем, что они представляют в. р. с. ф. третьего и четвертого рода
= 2кт1(с) I em^-\)m/2(\-tT>2Sml(c,t)cl( (2.28)
l + ioo
57
и
— 1-Й»
= 2xm/ (с) ) е*' (|2 - l)m/2 (1 - tT/2 Smi (c, t) dt. (2.29)
Выкладки, проведенные для вытянутых функций, практически без изменений переносятся на случаи с.у.с.ф., надо только заменить с на —ip. Таким образом, с. у. с. ф. удовлетворяют интегральным уравнениям
Sm, (р, ч) = V«z (Р) \ emt (1 - чТ/2 (1 - tT/2Sm, (р, t)dt,
(2.30)
Smi(p, ч) =
= yml (р) jt ch (pnt) (1 - M2)m/2 (1 - t*)m/2Smi (P, t) dt,
l — m четное, (2.31)
Sml (P, ч) =
= yml(p) \t sh (ptiO (1 - ч2)т/2(1 - lT/2Smi(P, t) dt,
l—m нечетное, (2.32)
которые аналогичны уравнениям (2.7) — (2.9).
Для характеристических чисел ^mi(p) получается тем же способом, что и в (2.15)—(2.17), дифференциальное уравнение
db)iYmi(p) =
= 2jL^-Sml(pA)-mjiSll(p,4)T^, (2.33)
которое может служить для оценки асимптотического поведения чт1(р) при больших и малых значениях параметра р.
Интегральное представление с. р. с. ф. получается из (2.30) аналитическим продолжением по аргументу ч:
Rml(p, %) =
= Kmi(p) jtelplt(I +lT/2(l-tT/2Sml(p, 0d/.(2.34)
58
Коэффициент Kmi{p) можно найти, вычислив интегрированием по частям асимптотику интеграла в правой части (2.34) при |-»-оо и сравнив ее с асимптотической формулой (1.35) для Rm,(p, i?):
(2.35)
Kml(p) - -¦ - P
(1—чТ
lim ъ-ll
ч-я-о Sm/(p, ч)
Для того чтобы получить интегральные представления с. р. с. ф. третьего и четвертого рода, достаточно в (2.34) заменить пределы интегрирования (—1, 1) на (1-J-too, 1) и (—1, —1-f-i'oo) соответственно и умножить правую часть на два. Полученные таким образом интегральные представления, очевидно, удовлетворяют равенствам (1.41).
Выше были рассмотрены интегральные уравнения и соотношения для сфероидальных функций с ядрами, характерными для метода Лапласа. Существуют интегральные соотношения и с другими симметричными ядрами. Рассмотрим интегральный оператор К с ядром K(t\, t), собственными функциями которого являются в. у. с. ф. Известно, что ядро симметричного интегрального оператора представляется рядом по своим собственным функциям. В нашем случае
