Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
где Km, (с) — (коэффициент, связывающий в. у. с. ф. и и. р. С. ф.:
кт,(с) = kml(c) • у„,,(с),
(2.11)
k l(c) - lim (l-^)m/2
ti-»-l—о
При больших значениях! интеграл в правой части (2.10) вычисляется асимптотически с помощью интегрирования по частям. Первые т внеинтегральных слагаемых обращаются в нуль, и в результате получаем
*m/(c)(-1)m (l2-l)m/2
i
^^-[^(C/)(1-/T/2]}
- J 0(1-^л].
Интеграл имеет более высокую степень убывания по |, чем внеинтегральное слагаемое (ом. Эрдейи, 1962, стр. 66). После ряда простых преобразовании получаем следующую асимптотическую формулу для Rmi(c, |):
х cos(cl- ?+1я) + о(-^г).(2.12)
С учетом нормировки в. р.с.ф. (1.19) приходим к следующему выражению для характеристических чисел
MO-"
-тм—l /р2_ i\m/2
^-я^^ЪЬг (2I3)
4* 51
При разделении переменных в сферических координатах значение радиальной функции в начале координат, заданной своей асимптотикой на бесконечности, называется функцией Иоста*). В нашем случае естественно называть функцией Иоста радиального уравнения величину
Hm Rmi(c,l)(l2-\)-ml2-
S-+H-0
В такой терминологии формула (2.13) устанавливает связь между характеристическими числами ^mi(c) интегрального уравнения (2.7) и функцией Иоста радиального уравнения.
В частном, точно решаемом случае m=l, с=/я/2 (см. (1.16), (1.28))
у«[-т)=11~'-т- (2л4)
Для характеристических чисел ^mi(c) может быть получено еще одно соотношение, аналогичное формулам (1.42), (1.43) для собственных значений Xmi(c) дифференциального оператора. Продифференцируем (2.7) по с:
4г$»|(*.П) =
= Ут, (С) j в*4' (1 - чТ/2 ( 1 - tT'2 |г Sml (С, t) dt + d
+——гт- Sm, (с, ri) -f
4ml (c) m
+ ymi(c)\ eicriiW (1 - t*)m/2(\ -r\Y!2Sml(c, t)dt. (2.15)
Равенство (2.15) следует рассматривать как неоднородное интегральное уравнение Фредгольма относительно
производной Smi (с, г\). Существование этой производной можно доказать, применив теорию возмущений к
*) Если функция в начале координат обращается в нуль, то функцией Иоста называется коэффициент при первом отличном от нуля члене ряда Тейлора в окрестности этой точки.
52
дифференциальному оператору (1.11) с учетом невырожденности собственных значений kmi(c). Известно, что для разрешимости неоднородного уравнения необходимо, чтобы свободный член .был ортогонален всем собственным функциям транспонированного однородного уравнения, соответствующим данному характеристическому числу, в частности Sm,(c, ц) (о возможности вырождения характеристических чисел см. выше). Условие ортогональности при выборе нормировки в у. с. ф. в соответствии с (1.12) приводит к равенству
й
IE У ml(С)
Ут1 <с)
= - Ут1 (с) \ Л) j( dteic*%t (1 - r,T/2 (1 - *Т/2 X
X Smi(c,r\)Smi(c,t). (2.16) Произведем ряд преобразований
— О 1
~ - Y«i М J 0 - лТ/25ы (с, Л) X
У ml —1
1
xT^i ]jc*V-tTnsmi(c,t)dtd4 =
1 1
= - 4" J V&ml {С, Л) Щ- Sml {С, V) dl\ - -y- JSSii (с, t))
Проинтегрировав первый интеграл по частям, окончательно получим *)
— 1
dc УтЛ°> 2т+1 та / i\ Г с2 dr\ _ , .
С Vm;(C) = -2--<С< J> - т iSml T=V» (2Л7>
причем при т^О второе слагаемое в правой части (2.17) за счет поведения в. у. с. ф. в граничных точках обращается в нуль. Дифференциальное уравнение (2.17) легко
*) Считая т непрерывным параметром, можно воспользоваться формулой (1.44).
53
решается:
Ц\. (2.18)
2m+l С с Г
Vmz(c) = v«/(c0)(-^-) 2 exp J— J I 3w(c, 1) —
1
— m J ^.i (с, л) r=V
В качестве начального значения для величин ч»ч(с(>) можно взять их асимптотику при с->0 или с-*-оо, которая будет получена при построении асимптотики в.у.с.ф. и в.р.с. ф.
2. Собственные функции преобразования Фурье в конечных пределах. Свойство двойной ортогональности. Интегральное уравнение для в. у. с. ф. (2.7) в частном случае т=0 обладает специфическими свойствами, важными для ряда приложений в оптике и радиофизике. После изменения масштаба
Vc г) = х, Yc t = х'
функций
b(c,x)-=^Sol(c,-^j (2.19)-
и соответствующих им собственных значений
(2-М)
из (2.7) следует интегральное уравнение
VI
рлр (с, х) = J e"*'i|> (с, х') cb', (2.21)
-V7
причем его собственные функции 1р((с, х) образуют полный ортонормированный базис в i?2(—Ус, Ус). Интегральная операция в (2.21) есть суперпозиция операции срезания*) функции ip(c, х) и преобразования Фурье. Поэтому обычно говорят, что функции ipi(c, х) являются собственными функциями преобразования Фурье в конечных пределах.
*) Операция срезания функции /(*) состоит в том, что она полагается рарной нулю вне некоторого промежутка, в нашем случае [-Ус,
54
Помимо ортогональности на отрезке [—"|/с, Ус], функции i|)((c, х), как уже указывалось в § 1, ортогональны на всей действительной оси. Это свойство называется двойной ортогональностью. Докажем ортогональность ф((с, х) на (—оо, оо) другим способом, используя равенство Парсеваля
оо
j" \b(c,x)tyi> (c,x)\dx =
со
V7
=тк\ X {с> х) *г (с> х)| d*=#б/г' (2-22)
где бц> — символ Кронекера. Равенство (2.22) дает дополнительно выражение для нормы функции яр, (с, х\ на (—оо, оо) через собственные значения ц((с). Функции ty,(c, х) на (—оо, оо) образуют полную систему в классе 9& функций F(x), представимых в виде
