Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
*(Л.0 = 2 a/Sm/(c,4),S«/(c,0-
l—m
Подействуем дифференциальным оператором L„ из (1.11) на К(ц, t) (нижний индекс указывает, на какую переменную действует оператор):
00
LnK (л, 0=2 a{kmlSml (с, л) Sml (с, () = L,K (Л, О-
Таким образом, функция К{ц, t) должна удовлетворять уравнению в частных производных
(?.,-?,)*(Л. 0=0. (2.36)
Но Lr< — Lt есть часть оператора Гельмгольца, не содержащая угловой переменной ф (см. введение (2.1)), так что уравнение (2.36) в цилиндрических координатах р, z имеет вид
{w + HP-^ + ^ + k>)Km(P,z) = 0. (2.37)
59
= 0
а
Нетрудно доказать и обратное утверждение, что если Кт(ц, t) является решением уравнения (2.36) в координатах т|, t и непрерывным при а^ц, t^.b, то функция
ь
Ты {с, л) = J Кт (л, t) Sml (с, t) dt (2.38)
а
при выборе пределов интегрирования из условия
{(1 - t2) [$»/ (с, t) ^ Кт (л, 0 -Кт(ц, t)± Sml (с, t)
(2.39)
удовлетворяет дифференциальному уравнению для вытянутых сфероидальных функций. В самом деле, подействуем дифференциальным оператором L из (1.11) на Tmi(c, г|), предполагая, что можно дифференцировать под знаком интеграла:
л
LnTml(c, л)- J/-Л»(Л, /)S„(/(c, =
= ((1 - t2) \sml (с, t) А кт (л, /) - * „(л, *) х
I/ ь
X~Sml(c, Щ- |/Ст(л, t)LtSml{c, t)dl = K,iTm,{c, Л).
а
Здесь были дважды проинтегрированы по частям выражения, содержащие дифференцирование по ч. Если выбрать а=—1, b=l, то функции Tmt(c, ц) с точностью до нормировки совпадают с в. у. с. ф.
Простейшие ядра Кт (л. t) можно получить, решая уравнение (2.37) методом разделения переменных и переходя iB решении от цилиндрических координат к сфероидальным. Так, например,
-Km (Л, 0=е'еч'м,а'т(*[(1 —П2)(1-W'sina), (2.40)
где Im{z) — модифицированная функция Бесселя, 0<а< <я/2. В предельном случае а->-0 получаем ядро уравнения (2.7). Характеристические числа интегрального уравнения могут быть выражены через значения в. р. с.ф. тем же приемом, что и в случае уравнения (2.7).
60
Интегральные представления в. р. с. ф. и с.р.с. ф. и уравнения для с. у. с. ф. получаются формальной заме-лой аргумента т|-*-/| и параметра с-*--ip в со-
ответствии с определениями в § 1. Более подробно мы остановимся на этом в § 7, где различные интегральные соотношения для сфероидальных функций получены с несколько иных позиций.
4. Гиперсфероидальные функции. Выше было показано, что в. у. с. ф. являются собственными функциями преобразования Фурье на конечном промежутке. Можно поставить более общую задачу. Пусть х, х'— векторы в #2" («-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением (х, х')). Рассмотрим интегральное уравнение
Собственные функции этого уравнения $л{х) естественно назвать собственными функциями многомерного преобразования Фурье в конечной области. В случае области S общего вида свойства 1р„(*) мало исследованы, однако если S —«-мерный шар, можно свести задачу решения интегрального уравнения (2.41) « нахождению собственных функции некоторого дифференциального оператора. Соответствующие функции называются гиперсфероидальными или обобщенными сфероидальными функциями.
Здесь мы проведем все выкладки только для двумерного случая, наиболее важного в приложениях. Перейдем в уравнении (2.41), где S считаем кругом радиуса а, к полярным координатам и будем искать 1р(*) по методу разделения переменных в виде
После выкладок, использующих интегральное представление функций Бесселя,
%'—]/2Т(г) е<'""Р =
у${х)= |"ехр/<АГ, x')i\>(x')dx'.
(2.41)
^(х)=г-'!'Т(г)еы".
(2.42)
а 2я
6 6
f WW f Т (г') exp [i (rr' cos (q> - <p') + m<p'] d<p' =
a
0
61
задача сводится к решению интегрального уравнения с симметричным ограниченным ядром
%Т (г) =- 2nlm J (rr')xl4m (г/) Т (г') df. (2.43)
Собственные функции Tml(a, г) уравнения (2.43), нормированные условием
§\Tml(a,r)\4r-=l, (2.44)
о
образуют полную ортонормированную систему в i?2(0,а). При а=оо интегральная операция в (2.43) есть преобразование Ганкеля, так что функции Tmt(a, г) называют собственными функциями преобразования Ганкеля в конечных пределах. Из характера аналитичности ядра в уравнении (2.43) следует, что функции Tmi(a, г) допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость г с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси. Продолженные функции обладают дополнительным свойством ортогональности на полуоси, что следует из равенства Парсеваля для преобразования Ганкеля
оо
f l^i(a, r)Tmt'(a, r)\dr~
6
(2.45)
Таким образом, функции Тт,(а, г) подобно в. у. с. ф. обладают свойством двойной ортогональности.
Собственные значения %mi(a), как можно показать тем же приемом, что и в предыдущем пункте, невырождены и упорядочены:
"2я>1х»1 (а) I > |Xms(fl) I >• • ->0. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
¦fcXmi(a) = Xmi(a)T2mi(a, а),
аналогичному уравнению (2.17). 62
Покажем, что функции Tmt(a, г) являются собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля
(LrT)(r) =
= if^- fl2> 4т <r)+а* (r2+)т w=Ar м
\г'"Т (г) Uo<oo, |Г(а)|<оо (2.46)
н, обратно, что собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (2.46) удовлетворяют интегральному уравнению (2.43). Поскольку система функций Tmi(a, г) полна, для этого достаточно показать, что дифференциальный оператор LT из (2.46) и интегральный оператор К из (2.43) с ядром Km(rr/)=^rrfIm(rr/) коммутируют. При доказательстве используем тот факт, что ядро /Ст(гг') удовлетворяет уравнению
