Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
cmtm-l (\_ц2)т/2
cmim-1 \'2\'т\
2B+W,,i-e Sml(c, r\)
CO
v (Hml (r\V-J2HL±J)L
r^U< W 2m + 2r -,-1
1/2 '2'#/(с)№1+Д
r=0
(3.23)
Для с. у. с. ф. нормировка (1.30) приводит к соотношению j^WUij-lL.g^. (3.24)
Нормировочный коэффициент Nmi(p) по существу такой же, как и в случае в. у. с. ф.:
Если систему (3.19) решать от «начала», то получим для отношения d^'(c)/d^2 (с) рекуррентные формулы (с) -Л,
i#2(c) flr-XmJ + Crd*/.2(c)/d™'(c)
(3.25)
Последовательное их применение позволяет выразить это отношение в виде конечной цепной дроби. Например, для четных /—т
dyUc) —А С А, , г А
_r v '_____г г г—2___ J^'C'q 26)
Однако этот процесс приводит к цели, только если известны собственные значения Xmi (с). Действительно, при произвольных к, как следует из асимптотического поведения коэффициентов Аг, Вг и Сг при г->~оо,
А' = Т + °(т)' Sr = r2-j-0(r), Сг = 4 + 0(т-),(3.27)
отношение коэффициентов d™i2(c)/d™'(с), .полученное с помощью (3.25), возрастает как 4г2/с2, и ряд (3.15), рассматриваемый как ряд Фурье, расходится. Только
71
при специальном выборе к можно скомпенсировать рост знаменателя в правой части (3.25) с точностью до членов О (г-2) и сделать так, чтобы отношение d^l2(c)ldml (с) убывало как с2/4г2. Выведем условие, которому должны удовлетворять значения к и которое' является по существу уравнением для собственных значений kmi(c). Для этого рассмотрим процесс вычисления d™'(c) от «конца». Имеем из (3.19)
df(c) -С
=-1-;— (3.28)
d?L2{c) Br-%ml + Ard^2(c)/df(c)
и в случае, если
dfl(c) г>ш~* '
получаем для каждого фиксированного к представление отношения d1?1 (c)/d^J_2 (с) в виде бесконечной сходящейся цепной дроби
-С, АгСг+2
d«/2{с) ¦ в-%т1- вг+2-хт1 - ... (3-29)
Сходимость цепной дроби (3.29) (по крайней мере при достаточно больших г) следует из условия (3.5) и оценок (3.27). Поскольку отношение коэффициентов
d™\c)ldyL2(с)убывает как с2/(4г2), ряда (3.15) сходится и как ряд Фурье на промежутке [—1,1], и на всей комплексной плоскости ц.
Очевидно, оба процесса (3.25) и (3.28) должны давать одно и то же значение отношения d™j_2 (c)ld'p1 (с), если k=kmi(c). Перейдем от дроби (3.26) к обратной
dTUO _ Ъ-Вг САГ_2 СИо пчт
df(c)~ Аг АЛХ-ВГ_2)- ... Х-Ва- V-™>
Приравняв правые части в (3.30) и (3.29) с учетом сдвига индекса, получим уравнение для собственных значений kmi(c) при четных /—т
Ъ-Вг САГ_2 СИо
Ar Аг(к-Вг_2)- ...%-В0
- ~°Г+2 Ar+*Cr+t- (3.31)
72
Уравнение для собственных значений Xmi(c) при нечет-пых / — т отличается от (3.31) заменой А0, В0 на А\, В\.
При численных расчетах величины Кт,(с) в формуле (3.31) обычно полагают r=l—т и, обрывая цепную дробь, получают для %mi{c) конечное алгебраическое уравнение. Уравнения (3.31) при различных г получаются частичным обертыванием цепной дроби в уравнении
* = В?-1-В?-%-... (3-32)
Уравнение (3.32) и аналогичное ему при нечетных/ — т, согласно (3.11) — (3.14), можно рассматривать как ра^ венство нулю формально вычисленного бесконечного определителя системы (3.19) при четных и нечетных /—т.
После того как вычислены собственные значения %mi, отношение коэффициентов dy'ldf+z находится из рекуррентных соотношений (3.25),, а их абсолютное значение— из соотношения (3.21) в случае в. у. с.ф. и из соотношения (3.24) в случае су. с.ф.
Вытянутые угловые сфероидальные функции второго рода S„} (с, т)) (линейно независимые с Sml(c,r\) решения уравнения (1.11) при X=Xmi{c)) определяются с помощью разложения по присоединенным функциям Лежандра второго рода
S$(c,ti)= 2Г df{c)Ql+r{4). (3.33)
Г——со
Здесь коэффициенты ^т\с) при г^О те же, что и в разложении в.у. с.ф. (3.15), а при г<0 определяются по рекуррентным соотношениям (3.19)с коэффициентами Л„ Вг и Сг, заданными формулами (3.20), но уже при г<0. Можно показать, что представление (3.33) согласуется с определением, данным в § 1.
При положительном целом / присоединенная функция Лежандра второго рода QT (х) определена формулой
QT (х) -
(1-хт<>?мх)=(1-хт»?,
I//2-1/2I
2
k=0
2 7r^w^h)p,-2k-i{x)- (3-34)
73
При отрицательных индексах / таких, что —т, функции Q?(x) получаются предельным переходом v-*-/, 1= — 1, —2, ..., —т, из соотношения для присоединенных функций Лежандра
sin [я (v - т)\ Q* v_i (х) =
= sin [я (v + т)\ Qm (х) — (- \)т л cos (nv) Р$ (х), (3.35)
справедливого на комплексной плоскости индекса v. При значениях v = /, /=—т, —т—1, ..., функции Q™ (х), рассматриваемые как аналитические функции индекса v, имеют полюс первого порядка. С другой стороны, коэффициенты dml (с) при г ^—2/71—1 обращаются в нуль, поскольку из формул (3.20) следует, что А-2т-2=0 и Л_2т-1=0, причем, если перейти от целочисленного индекса г к комплексному индексу v, то на плоскости v соответствующие нули будут нулями первого порядка. Таким образом, члены ряда (3.33) при г ^ — 2т — 1 следует понимать как результат предельного перехода
dml (с)
df (с) QZ+r (л) = Hm lim eQ™ Ьг+? (л) =
е-*0 с е-»0
= Пт%^Р-т_г_1(л) и разложение (3.33) можно представить в виде
