Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Slepian (1964). В статье содержится числовой и графический материал по обобщенным сфероидальным функциям.
Slepian (1965). В статье имеются таблицы вытянутых сфероидальных функций при больших значениях параметра с и производится сравнение с асимптотическими формулами
Slepian, Sonnenblick (1965). Таблицы собственных значений интегрального уравнения для в. у. с. ф. при значениях индексов т=0, /=0(1)20 25(5) 40 и параметра с= 1(1)20 25(5)40 с 8 знаками.
Oguchi (1970). В статье содержится численный и графический материал о поведении собственных значений К при комплексных значениях параметра.
В указателе литературы можно найти еще ряд ссылок па таблицы сфероидальных функций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Разложения угловых сфероидальных функций по присоединенным полиномам Лежандра и радиальных функций по функциям Бесселя были предложены Niven (1881). Maclaurin (1898)и Fischer (1937) рассмотрели разложения сфероидальных функций в степенные ряды.
84
Разложения с у с. ф с выделенной экспонентой были введены и исследованы Wilson (1928а, b), Baber, Hasse (1935) и Bouwkamp (1960а, Ь, с). В работе Chu, Stratton (1941) дан дополнительный анализ рядов для сфероидальных функций по присоединенным полиномам Лежандра и функциям Бесселя и введены разложения для фероидальных функций второго рода. Независимо разложения функций второго рода получил Bouwkamp (1947). Разложения радиальных функций третьего и четвертого рода по функциям Ханкеля исследовали Fischer (1937), Leitner, Spence (1950), Морс и Фешбах (1958) В работах Schmid (1948, 1949) рассмотрены общие свойства решений бесконечных систем трехчленных рекуррентных уравнений.
Meixner (1950, 1951) предложил строить разложения для сфероидальных функций по функциям Бесселя и присоединенным полипомам Лежандра, сравнивая представления сферической волны в виде рядов по сферическим и сфероидальным функциям В книге Meixner, Schafke (1954) дано большое число разложений как для сфероидальных функций рассмотренных здесь, так и для других решений сфероидального уравнения (1.1) при произвольных с, К. Подробный анализ различных разложений для сфероидальных функций приводится в монографиях Фламмера (1962), Морса и Фешбаха (1958), Бейтмена и Эрдейи (1967) и обзорах Rhodes (1970), Murakami и др. (1970, 1971).
§ 4. Разложения сфероидальных функций при малых значениях параметра
1. Вычисления по теории возмущений. Дифференциальный оператор (1.1), порождающий в. у. с. ф., можно представить в виде
(-L0 + \ + c2W)Sml(c, г])=0, (4.1)
где оператор умножения W
ТС7(ч) = (1-ч2)/(ч) (4-2)
рассматривается как возмущение. Норма \\W\\ оператора W, заданного на функциях [(tiJE^f—1, 1), определяется следующим образом:
1
j (1 - ч2)2 If (л) № ||Wf=sup -^S-- (4-3)
Оценив числитель в формуле (4.3) по теореме о среднем, приходим к неравенству
II^IKl, (4-4)
85
из которого следует, что возмущение является ограниченным.
Собственными функциями невозмущенного оператора (-10 + ^))РГ(Т1) = 0 (4.5)
являются присоединенные полиномы Лежандра Р"Кч)« а соответствующие собственные значения кт равны
= 1(1 + 1). (4.6)
С помощью стандартной схемы теории возмущений можно получить для в. у. с. ф. ряды по степеням с2 в виде
00
Smi (с, Ti) = Р? (ч) + 2 & tS (4)1*. (4-7)
ft=i
а также разложение соответствующих собственных значений
яы(с)=/(/+1)+2 с2*м*- (4-8)
Все матричные элементы от возмущения по невозмущенным функциям вычисляются в явном виде. Кроме того, поскольку возмущение можно представить в виде суммы трех полиномов Лежандра, имеется только конечное число матричных элементов, отличных от нуля. Поэтому реализация теории возмущений сводится к алгебраическим операциям. В частности, поправка первого порядка к собственному значению равна
c*[Mi = -с2 j (1 - ч2) [Р?(ч)]^цП [Р7(ч)У<1ц =
Согласно теоремам о возмущениях самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка ограниченными операторами (Rellich, 1937; Meixner, Schafke, 1954) ряд (4.8) сходится по крайней мере при
*<т = *г' <4Л0>
86
где praj — расстояние от невозмущенного собственного значения %т\ ло 'ближайшего соседнего невозмущенного собственного значения. При значениях с2, удовлетворяющих условию (4.10), выполняется неравенство
IWc)-*2)l<P»i/2. (4.11)
Из формулы (4.6) следует, что (2(/+1), 1 = т,
Использовав оценку Коши для коэффициентов произвольного степенного ряда (Смирнов, 1974, т. 3, стр. 53) получим, что коэффициенты [Х]к разложения (4.8) оцениваются следующим образом:
1 = т,
I = т + 1, т + 2, ...
(4.13)
Поэтому разложение по степеням с2 (4.8) является одновременно асимптотическим разложением по индексу / при /->оо. Это разложение, однако, не имеет формы степенного ряда по обратным степеням /. Существенно также, что в отличие от равномерного по с асимптотического представления, полученного в § 6, оно не допускает, естественно, предельного перехода с->оо.
Оценки (4.10) и (4.13) довольно грубые. Детальный анализ сходимости ряда (4.8) проведен в работе Schafke, Groh (1962). Тот факт, что ряд (4.8) имеет конечный радиус сходимости, следует из наличия точек ветвления функций \1т(с) на комплексной плоскости с, обнаруженных при численных расчетах Oguchi (1970).
