Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
r=l—т—2fe>0
Перейдем теперь к исследованию поведения в. р. с. ф. при малых с. Для этого можно использовать разложение в. р. с. ф. по функциям Бесселя (3.57). Если рассматривать только большие значения аргумента, такие, что с\ ^ М0 > 0 при с->-0, ?-»-оо, то из (3.57) и (4 22) следует
Rml(C,\)=V Jm+r+l,2(ct) + 0(c*). (4.25)
При этом величина поправочного слагаемого О (с2) зависит от постоянной Mq.
91
Когда с->-0, а значение | фиксировано, в разложении (3.57) от функций Бесселя можно перейти к их представлению при малом аргументе
OSyn+r-H/2
J»w{cl) = vdl+b+w 11+0 <4-26>
Учитывая характер зависимости коэффициентов df1(с) от параметра с (см. (4.22)), получим, что члены разложения (3.57) до (/ — т) -го содержат множителем одинаковую степень малого параметра с. Сумма этих членов дает представление в. р. с. ф. при с-»-0 и фиксированных |, а именно
Я , (l2-l)m/2 ст(1-т)\
xl/^^^^^^ti+o^)^
^ (|2 _ l)m/2 е/ Г _т ^ ;_т_2 {l_m){l_m__ 1) (2/+1)!! Is S 1-2.(2/-1)
, pl-m-i (I — т) (/ — т - 1) (/ — т - 2) (/ - т — 3) , 1 ^5 2!22(2/ — 3)(2/ — 1)
Х[1+0(с2)1. (4.27)
Здесь главныечлены асимптотикиdfl(c) при с-*-0 найдены из рекуррентных соотношений (3.19). Конечная сумма в правой части (4.27) может быть выражена через полиномы Лежандра следующим образом:
*«М)=%^п&{^1 grr(E)H +ОИ1. (4-28)
Разумеется, что с точностью до нормировки представление (4.28) совпадает с аналитическим продолжением главного члена разложения (4.7). Сравнивая (4.28) и (4.7), можно найти поведение при малых с коэффициента Kmi(c), связывающего в. у. с. ф. и в. р. с. ф. (см. (2.11)):
W (2/+1)!!(2/-1)!]|_2/+1(/ + т)П il+u\c>i-
(4.29)
92
Из формул (2.13) и (2.20) следует также асимптотическое выражение для собственных значений р((с) интегрального уравнения (2.17)
^ (С> = Н1+т (2ЖТ2ТТТУ! 11 + 0(С2)Ь (4-30)
Выражение (4.30) является при фиксированных с одновременно асимптотическим по / при /->-оо. Упростив его по формуле Стерлинга, получим
откуда следует, что собственные значения р((с) с ростом номера / убывают быстрее, чем по экспоненте.
Из формулы (2.13) находится и асимптотическое представление характеристических чисел jml(c) интегрального уравнения (2.7):
Ут1(с) = (t-c)m-/^ + W-l)!' U + 0(с2)]. (4.32)
Выражение (4.32) может служить начальным приближением при расчетах по формуле (2.18).
Представления с. р.с.ф. при малых значениях параметра р строятся аналогично.
Анализ поведения в. р. с. ф. и с. р.с.ф. при малых значениях параметров сир может быть выполнен также с помощью техники, используемой в § 7 гл. II.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Поправки порядка с2 к в. у. с. ф. и соответствующим собственным значениям %mi(c) были известны уже Niven (1881). Наиболее полные результаты для коэффициентов разложений (4.8) и (4.22) как аналитические, так и численные получены Bouwkamp (1950а, Ь, с) и Meixner (1944). Большое число таблиц этих коэффициентов приведено в книге Фламмера (1962). Радиус сходимости разложений (4 7), (4.8) и (4.22) исследователи Schmid (1948, 1949), Schafke (1951), Schafke, Groh (1962).
§ 5. Асимптотические разложения сфероидальных функций по большому параметру
1. Предварительные замечания. Во многих физических задачах, примеры которых будут рассматриваться в главе III, необходимо знать асимптотику вытянутых и сплюснутых сфероидальных функций при больших
93
значениях параметра с (или р) и фиксированных номерах t и т. Характер изменения в. у. с. ф. и в. р. с.ф. с ростом параметра с можно проследить на рис. 9, 10.
В зависимости от поставленной цели для получения асимптотик можно использовать различные формы разложений и методы их получения. Здесь мы рассмотрим
О 0,5 1 О 05 1
V V
Рис. 9. Характер изменения поведения в. у. с. ф. So; (с, т|) при /=8 и различных значениях параметра с.
две наиболее развитые методики: метод эталонного уравнения и теорию возмущений.
Метод эталонного уравнения ib форме, предложенной Cherry (1950) и развитой в работах Славянова (1967, 1969), состоит в следующем. Пусть требуется построить асимптотику по большому параметру с решений сингулярной краевой задачи, связанной с дифференциальным
94
уравнением
у" (х) + [Кг (х) + с2р (х) +q(x)]y (х) = 0, (5.1)
где г{х), р(х) и q (х) —аналитические функции, причем г(х) и р(х) имеют полюсы не выше первого порядка,
О
Рис. 10. Характер изменения поведения в. р. сф. Rot(c, Е) при 1=Ь и различных значениях параметра с.
a q(x)—не выше второго порядка на промежутке, где рассматривается краевая задача.
Сначала следует «угадать» грубую асимптотику (порядок роста по с) собственных значений К. Такое «угадывание» можно осуществить с помощью ряда соображений, например, используя простейшие формулы квазиклассического метода. После этого надо выяснить число и расположение точек перехода, т. е. нулей и простых
95
полюсов выражения Хг(х)-\-с2р(х). Точки перехода отделяют области осцилляции решений от областей экспоненциального их роста или убывания. Далее исходный промежуток, где рассматривается (Краевая задача, покрывается пересекающимися интервалами, содержащими не более двух точек перехода *). Для каждого такого интервала составляется эталонное уравнение
