Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
где символ {z, т)} обозначает производную Шварца
Ьч) (5.18)
Предположим, что функции z(c, л) и спектральный параметр v разлагаются в асимптотические ряды по обратным степеням с
со
z(c.4)= 2г*(ч)с-", (5.19)
оо
v(c)= 2 vjc-*. (5.20)
ft=0
Подставим разложения (5.19) и (5.20) в уравнение (5.17) и потребуем, чтобы коэффициенты при всех степенях с обращались в нуль. В результате получим рекуррентную систему линейных дифференциальных уравнений для коэффициентов zh(r\)
*о -Г=^' M/zJ vt0\ 2т|» .................... (5.21)
^ = iTf 0< (v'-'« z».....^ ' > 1'
7* 99
Нетрудно показать, что функции ®i(v{-i; z0, ..., z(_i; т)) будут ограниченными на отрезке 2)и если наложить условия
z<(l)=0, f>0. (5.22)
Смысл условий (5.22) заключается в том, что точка перехода z=0 уравнения (5.13) при замене переменной z—z(c, т)) переводится в точку перехода т) = 1 уравнения (5.10). Система уравнений ('5.21) с начальными условиями (5.22) имеет однозначное, ограниченное в точке т)=1 решение. Для построения главного члена асимптотики в. у. с. ф. нам понадобятся два члена разложения (5.19)
2 (с, т|) = 1-=^ - ? VT=^f arth VT=^f + О (1). (5.23)
На этом этапе величины vk{c) не определяются.
Перейдем теперь к промежутку 3)ц- В качестве эталонного возьмем уравнение Вебера с измененным масштабом
w"{s) + {ce—czs2)w{s)=Q. (5.24)
Для того чтобы упростить дальнейшие вычисления, сразу потребуем, чтобы решения уравнения (5.24) убывали при | Vc s\ -fr-oo, поскольку только такие решения можно использовать при продолжении асимптотики из 2)й в 2)\ Отсюда
о=05=2<7+1, <7=0,1..... (5.25)
wg (s) - exp (- с I) Hg{VSs). (5.26)
Асимптотику функций Vmi(c, т)) в 3)о будем искать в виде
Vmt (с, т|) = С [s' (с, т,)]-'/2 ехр(- с Я9 (Кс s (с, г,)),
(5.27)
где С —константа, a q=l—m. Преобразование масштаба s(c, т]) и собственные значения vmt(c) представим в
100
виде разложений
в(с,т|)= 2Мл)с-*. (5.28)
ft=0
v*i(c)= S v»(a)c-*. (5.29)
ft=0
Коэффициенты s*(t)) зависят также от а. Тем же способом, что и в предыдущем случае, получаем для коэффициентов sk(r\) рекуррентную систему уравнений
s°s° = ут=га* 1 Г v_ I (5-30)
S0Sq L I J
Нетрудно показать, что функции Qk(a; s0, ..., sk-i; r\) будут в совокупности ограниченными в 2)o, если наложить при всех к условие
Мл)1*-о=0. (5.31)
(Ввиду того, что знаменатели в правой части уравнений (5.30) обращаются в нуль при т] = 0, проинтегрировать их, удовлетворив условию (5.31), можно только при выполнении равенств
vk(o) —Qk+i (a; s0,..., sfc; r\) |,_0, (5.32)
из которых определяются величины vk(a).
Уравнения (5.30) вместе с условиями (5.31) задают однозначную рекуррентную процедуру нахождения sk{r\). При k=0 условия (5.31) и (5.32) обеспечивают совпадение точек перехода уравнения (5.10) и (5.24) при замене переменной s=s(c, г\).
Два первых члена разложения для s(c, и) имеют вид
5(с,ч) = [2(1-)/Т^Г»)],/2 +
+ ~Ml-Vr^)]-i^ni±J^ + 0[±). (5.33)
Асимптотическое разложение собственных значений приведено ниже. Формулы (5.33) и (5.23) совместно с представлениями (5.16) и (5.27) позволяют построить
101
главный член асимптотики в. у. с. ф. Вычисления дальнейших членов разложения довольно громоздки. Заметим, что для с. у. с. ф. они значительно проще. Используя асимптотику функций Бесселя и полиномов Эрми-та при больших аргументах, нетрудно показать, что на пересечении &>оГ) @>\ асимптотические разложения, полученные из (5.16) и (5.27), совпадают с точностью до числового множителя. Вычисляя этот множитель и нормируя в. у. с. ф. в соответствии с (1.12), получим
с1/4 21/2
0-с(1-?)
я 1/4 [д[] 1/2 ?»/2(1 + 0(?-И>/2
?W?(K2c(l-S))[l + 0(4-)]
(5.34)
Sm/(C,^) =
е—ся1/4с(2?+3)/42(3?+ 2)/2
2<7+ 1
arth
(5.35)
где^=/-т, ?=(1-п2)'/г.
Оценка в формуле (5.34) не является равномерной в окрестности корней функций. Это означает, что если фиксировать значение с, то величина О(с-1), входящая в (5.34), стремится к бесконечности, когда аргумент функции Я,(У2с(1—?)) стремится к ее корню. Можно было написать равномерное асимптотическое представление, используя, помимо функции Я,(У2с(1—?)), еще и ее производную, но здесь и в дальнейшем мы не будем применять такую усложненную форму записи.
Поправочные члены в аргументах функций Бесселя и Эрмита следует учитывать на пересечении ??0 П '?и где справедлива формула
Smi(c, л)
X
с(2?+1)/42(3?+1)/2
(1-0'
х
1/2
[l +0(4-)]. (5.36)
102
При т) = 0(с_,/!) из (5.34) следует асимптотика (5.8). Приведем еще запись формул (5.34), (5.35). (5.36) в переменной ¦0=arcsin4
Я (г til c'/4exp(-2csinM»/2))
1 ' Л' _ я"4 (2«Я\УП (cos (0/2))'+' (cos*)'/2 Х
X
tf?(2y«in(A))[l + 0(j-)], (537)
1+0(4
(5.38)
е—CjtJ/4c(2<7+3)/42(3(7+2)/2
х /m(ccosfl+^lntg(v}/2))
Sm|(C, Г)) =
2?+l
= с \^mmr e^sln.W2) f! + 0(_l)1 (5.39)
я1/4(?!)'/2(со8<>),/2(со8<)72)) L \ с /J v '
Асимптотические разложения собственных значений Х,ы(с) могут быть получены при продолжении рекуррентного процесса, описанного выше, а также другими способами:
Хт, (с) = - са +- ест - (а2 + 5 - 8т2) —
