Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
w" (г) + [on (г) +с2Р1 (г) ] w (г) = 0, (5.2)
т. е. наиболее простое уравнение, имеющее тот же характер и расположение точек перехода. Если коэффициент q(x) имеет полюс второго порядка, то такую же особенность следует включить в уравнение (5.2). Решения уравнения (5.1) на рассматриваемом интервале ищем в виде
У\,2(с, x) = [z'(c, x)]-'hwU2(z(c, х)), (5.3)
где нелинейное преобразование масштаба z(c, х) находится в виде асимптотического ряда по обратным степеням с. Коэффициенты этого ряда удовлетворяют рекуррентной системе дифференциальных уравнений первого порядка, легко интегрируемой. Связь параметров о и X задается условиями, смысл которых заключается в том, что точки перехода уравнения (5.1) должны совпадать с точками перехода уравнения (5.2) при z=z(c, х).
Далее строятся асимптотические представления решений в других интервалах изменения аргумента. Из условий «сшивания» решений при переходе от одного интервала к другому и граничных условий находятся асимптотические разложения собственных значений X.
Общность методики позволяет применять ее, не используя специфики сфероидальных функций, но это же обстоятельство вызывает быстро нарастающие вычислительные трудности при определении последующих членов ряда в асимптотических разложениях.
Другая методика, развитая в применении к вытянутым сфероидальным функциям Slepian (1965) и Miiller (1963), а в применении к сплюснутым функциям Miiller (1962) и Damburg, Propin (1968а, б)—это по существу видоизмененная теория возмущений. На разных интерва-
*) Ограничение на число точек перехода связано с тем, что функции а) (г) должны быть достаточно хорошо щученными, не сложнее гипергеометрических.
96
лах изменения независимой переменной исходный дифференциальный оператор преобразуется к виду
где стоящий в левой части дифференциальный оператор достаточно простой, например оператор, собственными функциями которого являются полиномы Эрмита, и т.д. После этого функция гр раскладывается в ряд по функциям, связанным с оператором L. Коэффициенты этого ряда в свою очередь раскладываются в ряд по обратным степеням большого параметра с. После подстановки решения в такой форме в исходное уравнение и использования рекуррентных соотношений для базисной системы функций вычисления в конечном итоге сводятся к рекуррентной алгебраической процедуре, которая позволяет определить как коэффициенты разложения функции гр с точностью до нормировки, так и коэффициенты разложения собственных значений по обратным степеням с. Такая процедура сильно зависит от специфики коэффициентов в уравнении для сфероидальной функции.
Строящиеся по второму методу асимптотические представления являются более «локальными», чем те, которые получаются с помощью эталонных уравнений. Преимущество второй методики заключается в том, что при ее реализации можно эффективно использовать ЭВМ.
2. Асимптотика вытянутых угловых сфероидальных функций. Изменив масштаб в уравнении (1.11)
t=i\ic (5.4)
и введя новый опектральный параметр
v=c+X/c, (5.5)
придем к уравнению
Л (' - т)? « W + [v - >' - 71T*W] « W ~ °- <М>
Положим с=оо и заменим граничные условия в (1.11) условием интегрируемости с квадратом u(t) на промежутке (—о°, оо). Решение получившейся задачи хорошо известно, а именно:
vm;|«.=M=29-f 1, q=l—m, (5.7)
«-(0|.-- = Св-'«Я,(0, (5.8)
7 II. в. Комаров и др.
97
где С — константа, a Hq(t) —полиномы Эрмита,
Hq{t) = {-\)*et'?qe-?. (5.9)
Отождествление функций по номеру мы произвели, исходя из требования, чтобы число нулей функций uml(t) и Hq(t) совпадало,-
Формулы (5.5), (5.7), (5.8) дают наиболее грубую асимптотику в. у. с. ф. и соответствующих им собственных значений.
Перейдем теперь к построению равномерных асимптотических разложений по схеме эталонных уравнений, которая была описана выше.
В соответствии с заменой (1.6) будем исходить из краевой задачи
V" (л) + р?г? + (МЧ v <ч> = °' (5-10>
<оо. (5.11)
V(t|)
|/1 -т|«
Ч=±1
Собственные функции Vmi(c, ч) выражаются через в. у. с. ф.
Vmi{c,r\)^CV\-v?Sml(c,r\), (5.12)
где С — константа. Связь спектральных параметров Я, и v задается формулой (5.5), причем из равенства (5.7) следует, что v в первом приближении не зависит от большого параметра с.
Уравнение (5.10) имеет две «близкие» точки перехода т) — ±Vv7c и еще две точки перехода г\ = ±\. Краевое условие при г]——1 можно заменить требованием четности или нечетности решений, что сужает промежуток рассмотрения до [0, 1]. Выделим два перекрывающихся промежутка изменения ч:
0о= [0, т)0], 25i=i[t|i, 1], т)о>т)1-
На промежутке ?Е>\ в качестве эталонного можно взять уравнение
w" (2) + [- 4 + ] w (г) = 0. (5.13)
Его решение, конечлое в нуле, выражается через 98
цилиндрические функции
ro(z)=fz/m(2cfz), (5.14)
где Im{2c^z) —модифицированная функция Бесселя
Функцию Vmi[c, т)) представим в виде (5.3)
V«' (°> Ч> = [|^|],/2 7m (2с V^Tn))- (5-16)
Непосредственной подстановкой ib уравнение (5.10) можно убедиться, что функция z(c, л) удовлетворяет следующему нелинейному уравнению:
+ T^j. + (1 - "¦") [(!=?? - й] - 4 (г, ЛI - 0, (5.17)
