Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из разложения (3.53) можно получить еще одно разложение для с. у. с.ф. iBTOporo рода, используя формулу Лиувилля, которая позволяет найти второе решение дифференциального уравнения второго порядка по первому решению. В нашем случае формула Лиувилля принимает вид
S(m\ (С, Т|) = cSmi (С, Т))
S2ml(c г,)(1-Ч2)
Постоянная А находится путем сравнения коэффициента при какой-нибудь степени 1—т]2 с соответствующим коэффициентом, полученным из разложения (3.36). Поскольку в данной книге не ставилась задача подробного исследования произвольных решений сфероидально-
78
го уравнения, за деталями .мы отсылаем -к книгам Фламмера (1962) и Meixner, Schafke (1954).
4. Разложения радиальных сфероидальных функций. Поскольку в.р.с.ф. являются аналитическим продолжением перенормированных в. у. с. ф. на полуось ?е[1,оо), а ряды (3.15), (3.38), (3.53), если выделить множитель (1 — п2)т/2, сходятся на всей комплексной плоскости т], можно считать их разложениями и для в. р. с. ф. Однако эти ряды никак не учитывают осцилляции в. р.с.ф. при ?->~оо. Поэтому их сходимость при возрастании т] резко ухудшается и для численных расчетов они мало пригодны, подобно тому, как степенные ряды не годятся для вычисления тригонометрических функций при больших значениях аргумента.
Разложения в. р.с.ф. по системам функций, которые учитывают характер поведения в. р. с. ф., можно получить, используя интегральные представления. Подставив разложение в. у. с. ф. по полипомам Лежандра (3.15) в интегральное представление (2.10)
X 2' df{c)Pm+r{t)dt (3.55)
г=0,1
и воспользовавшись формулой Родрига для присоединенных полиномов Лежандра (1.14), получим
Rml (С, 1) - Nj (С) Кт1 (С) (|2 - I)-/2 X
X \ еШ у df (с)(~ '?(2т + ')! 1 )«+'dt.
Поменяем местами суммирование и интегрирование и проинтегрируем r-с слагаемое г раз по частям:
Rml (С, I) - Nj (С) Кт t(c) (|2 - 1)-/2 X
у dml{) (-l)^(2m + /)Ktey \eiclt{t*_X)m+rdL ^ г v / 2m+rrUm + r)l У
Используя интегральное представление для функций
79
Бесселя
получим разложение в. p. с.ф. первого рода по функциям Бссселя
7? (г П - *'"'(С) (^-'Г/2 v
со
х 2' ^(c)i-r)/2n[(2m + 0!]a/«+r+./2(c|). (3.56)
r=0,I
Заменяя >cmi(c) и Nmi(c) выражениями (3.23) и (3.22), можно преобразовать разложение (3.56) к виду
i
X
L/-=o,i
х J' d?(c)Vm + r»;r+m-1 Jm+r+l/2(cl).(3.57)
r=0,l
Таким же способом из интегральных представлений (2.24) и (2.25) с учетом интегральных представлений функций Ханкеля первого и второго рода
l+ico
, с..Ь4-|/2 '—1 + foo
получаются разложения для в. р. с. ф. третьего и четвертого рода по функциям Ханкеля
(2т + г)!
1_г=0,1
-I
X
г=0,1
х J' i'^-*d?{c)&Z±2L //№/2(cl). (3.58)
80
Разложения для ib.р.с.ф. второго рода могут быть найдены с помощью формулы (1.24)
«3 (с, I) = У% (Ej±y* Г? t? (с) sage.
./¦=0,1
X
X JT tr+m-'dT!(c) {2m + r)l Nm+r+m(cl), (3.59)
/=0,1
где Nm(z) — функция Неймана.
Нужно заметить, что если изменение порядка дифференцирования и интегрирования в случае в.р.с.ф. первого рода математически оправдано и ряд (3.49) после выделения множителя (g2—l)m/2 сходится при всех комплексных \, то в случае в. р. с. ф. остальных родов это не так, ряды (3.58), (3.59) являются по существу расходящимися. Тем не менее при не слишком малых значениях eg (с|>1) они вполне пригодны для численных расчетов.
Поскольку цилиндрические функции от полуцелого индекса выражаются через элементарные функции, для в. р. с. ф. можно написать следующее разложение:
«* <* I) - (» [<* - | +
+ sinfci- ""] J; awt-*-\ (3.60)
К сожалению, коэффициенты разложения as удовлетворяют не трехчленным, а пятичленным рекуррентным соотношениям, и поэтому разложения (3.60) практически не используются. Нетрудно написать ряды вида (3.60) и для радиальных функций других родов.
Сходящийся ряд для функции Rm) (с, ?) получается, если аналитически продолжить разложение (3.36) для $nt (с, ч) на полуось |е[1, оо). Подробнее с разложениями в.р.с.ф. второго, третьего .и четвертого рода можно ознакомиться по книгам Фламмера (1962) и meixner, Schafke (1954).
Приведем в справочных целях коэффициент kj%] (с), связывающий в. у. с. ф. второго рода с в. р. с. ф. второго
И, В. Комаров и др.
81
рода
kM (с) = lira -^-т2 =-
1->1+0
2/-m (2m), (l^L} , (i±il) , ^ (с) со ^ ^ + л), ^
(2т - 1) т! (/ + т)! ст~х ~0 Г
I — т четное,
^^,(i=|iU),(?±-±l),gU,M
/о™ _ Ъ\ Югу, _ 1\ «,1 _L_ m _L П! лт~2
(2m-3)(2m-l)ml(/ + m+l)!cm-2
X (2т + л)', i-m нечетное. (3.61)
Коэффициент kmi(c), авязывающий функции первого рода Smi(c, т]) и Rmi(c, ?), находится путем сравнения разложений (3.15) и (3.57) в единице и оказывается равным
|->1+0
_r=o_, / — m четное,
2^(c)c-«!(^)! (4^)l
(2m + 3) (/ + m + 1)! ]?' W 0'
2/+mdf (c)^+, ndJi^JHi^ (^f^jT'
/ — m нечетное. (3.62)
Используя интегральное представление (3.16), можно построить разложения с. р.с.ф. по цилиндрическим функциям того же типа, что и (3.57), (3.59) для в. р. с.ф. Rmi(p, _
Яш (Р. И) - /5 (^П2 2' *?(р) X
/¦=0,1
(2m + r)lir+m+l X -J\-Jm H-l/2 \Pl)- (3.63)
