Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
82
Разложения с. р. с. ф. других родов получаются заменой
в формуле (3.63) функций Бесселя на функции Ханкеля и Неймана.
5. Сведения о таблицах сфероидальных функций. Если еще лет двадцать тому назад применение сфероидальных функций в математической физике сдерживалось отсутствием достаточно полных п точных таблиц, то теперь эти трудности в значительной степени преодолены. К настоящему времени создано несколько программ для ЭВМ, позволяющих достаточно точно вычислять сфероидальные функции в широком интервале изменения аргумента, параметра и индексов. Имеется также значительное число таблиц, данные о которых приведены ниже.
Подавляющее большинство методов вычислений сфероидальных функций базируется на разложениях по более элементарным функциям, рассмотренных в этом параграфе. Наибольшие вычислительные трудности при этом представляет нахождение собственных значений. Собственные значения определяются либо из уравнений, получаемых обрыванием соответствующей ценной дроби, либо непосредственно из обращения в нуль обрезанного определителя соответствующей рекуррентной системы (Hodge, 1970). Алгоритмы численного решения этих уравнений выбираются различные и здесь обсуждаться не будут. Во всех методах важно задать некоторое начальное приближение для собственных значений, которое может быть получено из разложения (4.15) при малых значениях параметра и асимптотических формул при больших значениях параметра Практическим критерием того, является ли параметр малым (большим), может, например, служить неравенство с</+3(с>/+3) (Ерашевская и др., 1973).
Другой характерной особенностью всех используемых алгоритмов является предварительное тождественное преобразование (см. (3.6)) цепной дроби, определяющей собственные значения Оно используется для того, чтобы оперировать при вычислении на ЭВМ величинами одного порядка.
Для вычисления в, у с. ф в основном используется разложение (3 15) по присоединенным полиномам Лежандра, для с. у. с. ф. разложение (3.16), а иногда при больших р разложение (3,39) с выделенной экспонентой Следует обратить внимание, что нормировка с. у. с ф. и в у. с. ф в таблицах бывает различная Для вычисления радиальных функций используются при малых eg разложения по присоединенным полиномам Лежандра (3 15) и (3.62) с учетом перенормировки (3.62), а при больших с| разложения по функциям Бесселя (3 57) и (3,63). Нахождение функций второго рода представляет собой более трудную вычислительную задачу, и они протабулиро-вапы значительно менее полно, чем функции первого рода.
В ряде работ на основе формулы (2 13) вычислены (при т=0) собственные значения интегрального уравнения для в у. с. ф. (Slepian, 1965; Slepian, Sonnenblick, 1965; Frieden, 1971).
Укажем также на статьи Weinhold, Chinen, 1972; Patel, 1967), где для с. у. с. ф. в связи с проблемой иона Н^" предлагаются приближенные выражения, зависящие от ряда параметров, которые находятся из вариационных соображений Перечислим наиболее известные и полные таблицы сфероидальных функций и оригинальные счатьи, содержащие большой числовой материал
6'
83
Stratton, Morse, Chu, Hunter (1941) Таблицы содержат собственные значения и коэффициенты разложения с у. с ф. и в. у с. ф. по присоединенным полиномам Лежандра при значениях параметра с, р = 0(0,2) 5,0 и индексов т=0(1), /=т(1)3 с 5 знаками.
Stratton, Morse, Chu, Little, Corbato (1956). Таблицы содержат собственные значения и коэффициенты разложения с. у. с. ф. и в. у. с. ф по присоединенным полиномам Лежандра и коэффициенты разложений с. р. с. ф. и в. р. с. ф. по функциям Бсгселя при значениях параметра с, р=0,0(0,1) 1,0(0,2)8,0 и индексов т = 0(1)8, /=т(1)8 с 7 знаками
Фламмер (1962). В книге содержится обширный численный материал по сфероидальным функциям Приведены таблицы собственных значений, коэффициентов разложений по полиномам Лежандра, разложений этих коэффициентов при малых значениях параметра, самих сфероидальных функций и др. Наиболее точные вычисления выполнены с 8 знаками.
Stuckey, Layton (1964). Таблицы собственных значений и коэффициентов разложений по полиномам Лежандра при значениях параметра с, р=0,2(0,25) 10,0 и индексов т=0, /=0(1) 10 с 11 знаками.
Hunter, Kirk, Sinior, Wittenberg, (1965). Таблицы в. у. с. ф. при значениях параметра с=0,1 (0,1) 10,0, индексов т = 0, /=0(1)20 и аргумента t]=0(0,05)l.
Hanish, Baier, van Buren, King (1971) Таблицы радиальных сфероидальных функций, вычисленные с 18 знаками. Вытянутые функции приведены при значениях параметра 0=0,1(0,1)1 2(1)10 12(2)30 3540, индексов т=0(1)2, /=т(1)т+49, независимой переменной |,= = 1,00000001 1,0000001 1,000001 1,00001 1,0001 1,001 1,01 1,02 (0,02) 1,2 1,4 (0,2)2. Сплюснутые функции приведены при тех же значениях параметра и индексов и следующих значениях аргумента 1=0,00(0,02) 0,10 0,1 (0,2) 1,0 (0,2) 2,0.
Ерашевская, Иванов, Пальцев, Соколов (1973). Таблицы с. р. с. ф. первого и второго рода и их первых производных при значениях параметра р=0,5(0,5)8, индексов от=0(1)16, /=т(1)16 и аргумента 1=0(0,5) 1,5, вычисленные с 15 знаками
