Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
s2!(c,4)= 2' d?'(c)QS+r(4) +
г——2т,—2/п-Н
+ 2' dffiW^-m-lW, (3.36) r=2m,2m—1
где коэффициенты йф(с) равны
jm* /г\
d^(c) = lim?=r±iil. (3.37)
Е-э-0 в
Для определения сплюснутых угловых сфероидальных функций второго рода (р, т\) надо в формулах (3.33), (3.36), (3.37) заменить коэффициенты k d?l(c) на коэффициенты dm\p).
74
3. Другие типы разложений угловых сфероидальных
функций. Для угловых сфероидальных функций может быть написан еще целый ряд разложений по системам элементарных функций (не обязательно ортогональных) таких, что коэффициенты этих разложений удовлетворяют трехчленным рекуррентным уравнениям.
Как в. у.с.ф., та,к и с. у. с. ф. можно разложить в степенные ряды по четным или нечетным степеням т] в зависимости от четности /—т:
оо
Sm, (с, tj) = (1 - т]2)т/2 2' gs (с) r\s, '3.38)
s=0,l
Sm, (р, ч) = (1 - ч2)т/2 2' gs (р) ч<• (3.39)
s=0,l
Подстановка разложения (3.38) в уравнение (1.11) приводит к трехчленной рекуррентной системе уравнений для коэффициентов
a.g.+2 — p.g. + 1>ё»-2 = °> (3-40)
где
о.= (s+l)(s + 2),
ps = (s + m) (s + m+ 1) -с2-Кт(с), Ъ = - с2. (3.41)
Рекуррентная система для ga{p) отличается от системы (3.40) заменой с2-»-—р2 и Xmi(c)-»-A,m, (р) в формулах (3.41).
Собственные значения Kmt(c) получаются из условия равенства нулю цепной дроби, через которую выражается бесконечный определитель системы (3.40). При четных l — т уравнение для Kmi(c) имеет вид
И-с2 - т(т + 1) +
, _1 ¦ 2 • с2__3 ¦ 4 ¦ с2_
"г Я,-he2 — (m-|-2)(m + 3)-j- X + с2 — (m + 4)(m + 5) +...
(3.42)
Правило, по которому последовательно строятся члены цепной дроби (3.42), проще, чем в случае разложения по присоединенным полиномам Лежандра.
75
Отношения коэффициентов g*+2(c)/gs(c) и g,+2(p)lgs(p) убывают при больших s как c2/s2 (соответственно p2/s2), так что ряды (3.38) и (3.39) сходятся на всей плоскости т), однако сходимость их хуже, чем сходимость рядов (3.15) и (3.16), и для численных расчетов они значительно менее эффективны.
Нормировка (1.13) задает коэффициенты go(c) п
go{c)
1—т
(-1) 1 (/+«)! l—m—i
а (г) = (-1) 2 (/ + «УК1)1 2,//-^-1\,// + т + 1
(3.43)
Соответственно неопределенный числовой множитель при ёТ'(р) определяется из нормировочного условия
s=0,l
которое следует из выбранной нормировки с.у.с.ф. в точке т) = 1 (1.30).
При больших значениях параметра с ряды (3.15) и (3.38) сходятся медленно, что показывают как оценки коэффициентов, так и конкретные числовые расчеты. Это связано с характером асимптотического поведения в.у. с.ф. при больших с Таким же свойством обладают и разложения с.у.с.ф. (3.16) и (3.39) при больших р.
Для с.у.с.ф. предложены два типа разложений, которые, не будучи асимптотическими в полном смысле этого слова, имеют лучшую сходимость при больших р
Sml (р, л) - е-*»-*» f hs (р) Pm+s (I)), (3.45)
s=0
оо
Sml (p, Л) = (1 - ц2Г'2е~р^) v bs {p) (1 _ (3-46)
Разложения (3.45) п (3.46) в явном виде не учитывают свойства четности с.у.с.ф. и удобны лишь для проме-
76
жутка [О, 1]. Выделение экспоненциального множителя, убывающего от точки и = 1 к точке м = 0, как будет показано в дальнейшем, хорошо отражает асимптотическое поведение с. у. с. ф. при больших р. Разложения, удобные для промежутка [—1, 0], получаются из (3.45) п (3.46) заменой п->-—и с использованием свойств четности с. у. с. ф.
Коэффициенты К(р) удовлетворяют следующей трехчленной рекуррентной системе:
ссА+1—PA+yA-i = 0, a_, = 0, (3.47)
где ^ 2р(Н-д-|- l)(s + 2m + l)
s 2s + 2т + 3
ps^{s + m)(s + m+l)-kml(p), У5 = -1Р+2тГ-г
(3.48)
Рекуррентная система для коэффициентов bs(p) отличается от системы (3.47) только значениями сс„ р., ч>-
a, = 2(s+ l)(s + m + l), Р,= (s+m) (s + m + l)+2p (2s + m + 1) - kml (p), (3.49) Y, -- 2(s + m)p.
Собственные значения Xmt(p) в случае системы (3.47) находятся из уравнения
МЯ)-рГ?/- м?-... " °" (3-50)
Отношение коэффициентов hs+i(p)/hs(p) при больших s убывает как p/s, отношение коэффициентов b^\{p)lbs(p) убывает как 2p/s. Ряды (3.45) и (3.46) сходятся на всей плоскости и. Нормировку с. у. с. ф. (1.30) задает коэффициент Ь0(р):
<3-51>
и приводит к следующему нормировочному условию для коэффициентов hs(p):
1
(3.52)
77
Разложения в. у. с. ф., аналогичные по свойствам разложениям (3.45) и (3.46), не найдены. Формальный переход —ic приводит к разложению но комилексно-значной системе функций с комплексными коэффициентами,
В заключение запишем еще одно разложение в, у, с. ф,, для которого имеется очевидный аналог и в случае с. у. с. ф.
со
Smi (с, т]) = (1 - ч2)т/2 2^(1- ч2)?> / - т четное,
.4-О
(3,53)
го
Smi(c, ч) = (1— ч2)ш/2ч У gs(l — Ч2У, t - т нечетное.
.5=0
Коэффициенты g, удовлетворяют рекуррентной системе (3.40) с коэффициентами а„ р„, у,:
oc, = 4(s-r-2)(s + m + 2),
р5 = (2s + т + 2) (2s + т -f 3) — Хш/(с), / — m четное,
65 -= (2s + т + 3) (2s + т + 4) — (с), / — m нечетное,
у, --= с2. (3.54
С вычислительной точки зрения разложение (3.53) является удобным лишь в малой окрестности точек ч = ±1.
