Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
лу отвечают две серии соб- -J-
ственных значений энергии Е. Точно так же, зафиксировав значение р, получим две серии собственных значений X, одна из которых порождает симметричные относительно точки т) = 0 собственные функции, другая — антисимметричные.
Запишем эталонное уравнение с кулоновским потенциалом при соответствующем выборе масштаба
0 Vol
Рис. 11. Схематическое поведение потенциала v(r\) в уравнении (5.64).
а»'(г) + (-
Р* + -^ +
1
4г*
|а»(г) = 0. (5.66)
Решение уравнения (5.66) ¦w1(z), конечное в точке 2=0, выражается через функцию Уиттекера
а»! (г) = Мх,т/2(2рг) =
1 + т
»)
In ,
(2ргутШ2е-„г ^ \,(|Я+1);"(2ргУ . (5.67)
п=0
Здесь использован символ Похгаммера (а)„ (а)0 = 1, (а)„ = а(а + 1) . . . (а + п —1) =
п = 1, 2,...
Г(а + я) Г (а)
8 И. В. Комаров и др.
113
Асимптотика функций Уиттекера Afx,m/2(2pz) при pz>\, равномерная по индексу х, имеет вид
М %,п,2(2рг) =
г (-х+—i-j
где
l + \ /1 —m
2=2 ~-4r-L" <Тгдг)-
— асимптотические ряды по обратным степеням р. Слагаемым, содержащим убывающую экспоненту, нельзя пренебрегать в «малой» окрестности полюсов гамма-функции
т+ 1\
2
В частности, когда выполняется равенство
Х = %о = п + Ц±, п = 0,1.2,..., (5.69)
в формуле (5.68) имеется лишь убывающее слагаемое, и функции Уиттекера M%,m/2(2pz) являются собственными функциями задачи Штурма — Лиувилля, порожденной уравнением (5.66) на полуоси [0, оо), а хо— соответствующими собственными значениями. В этом случае функции Уиттекера M%m/2(2pz) сводятся к полиномам Лагерра
_ *_ т+1 .
= . 2*2 ^СМ==
(n + m)\ dx" x
Разобьем функции Vml(p, t\) на два класса: симметричные Vm)(p, tj) и антисимметричные У%](р, т)) — в соответствии с четностью 1—т — и рассмотрим вместо за-
114
дачи (5.64) две задачи на промежутке че[—1, 0] с условиями
Vm,(/>,0)=0 (5.70а)
для симметричных функций, и
Vm,(p, 0)=0 (5.706)
для антисимметричных.
Эталонным уравнением на [—1, 0] является уравнение Уиттекера (5.66), причем, сравнивая (5.64), (5.66) и (5.69), можем заключить, что
%(р) = 2рх(р) = 2р% vkp->*, (5.71)
fc=0
где
v(/>)=0(l).
Если искать функции Vmi(p, л) в виДе
Уш(р, л) =>[*'(/>, ч)]-'!'М%,т/2(2рг(р, л)), (5.72)
где
г(р,г))=2г*(г1)/,~*' (5-73>
то рекуррентный процесс, аналогичный тому, который был разобран для случая в. у. с. ф., после довольно громоздких вычислений приводит к следующей асимптотической формуле:
,(,. t|)«i+t|+J.i„I^IL+^jr[Tfitri„i^l--^^- + |(10х2 + 6х + 1)] + О(4), (5.74)
где
т=(1-/п2)/4.
Из условий разрешимости рекуррентного процесса на каждом этапе следует асимптотическое разложение
8* 115
собственных значений Kmi(p) Kaip) = 4рх - 2(ха + т) -lW±Jl-- -ф (5Х4 + 6хат + X2 +т2)- -щг [ЗЗх6 + 46Х3т + 17Х3 +
+ 13хт2 + 6хт1 + 0^). (5.75)
Значение параметра х находится из неиспользованных еще граничных условий (5.70а) и (5.706). Обозначим величину х в симметричном случае через х«, а в антисимметричном— через Ха. Условия (5.70а) и (5.706) являются трансцендентными уравнениями относительно %,
и 1а.
Рассмотрим подробно антисимметричный случай. Так как 2рг(р, т|) при tj =0 и р-»-оо—большая величина, воспользуемся асимптотикой функций Уиттекера. Тогда из (5.72) и (5.68) после элементарных преобразований следует
_е-2Рг(2Рг)2*а2_
/ 1 +m\ / 1 — т\ Г [ Х« + —) Г ( Х« + —2—j 2+
(5.76)
Если заменить правую часть при р-*-оо нулем, то %а пе-
реидет в
Xo = " + ?VL' " = 0,1,2,... (5.77)
Подставим в уравнение (5.76) разложения (5.74) и (5.75) и представим %а в виде
Ха=5Со+бХ- (5.78)
Первая итерация уравнения (5.76) дает
вх = 14&^[1-?(зх5 + т) +
+ JpT (9Хо + Юхо + бхог + 6х0т + г2 - Хо) +
4
(5.79)
Последующие итерации приводят к величинам, которые в асимптотическом разложении надо опускать.
116
В симметричном случае имеет место формула Х-=Хо-6х, (5.80)
где величина бх определяется тем же выражением (5.77). Формулы (5.78), (5.80) справедливы с точностью до 0((б/)2). Доказательство формулы (5.80) можно получить, используя при выводе дисперсионного уравнения для величины % вместо равенств (5.70а, б) эквивалентное им равенство
VltiP, 0) = 0. (5.81)
Все величины /, зависящие от %, например собственные значения Xmt(p) (см. (5.75)), могут быть представлены в виде
/(Х) = /(Хо)± |бх+0((бх)а), (5.82)
где знак плюс берется в антисимметричном случае, а минус в симметричном.
По существу формулы (5.72), (5.74) и (5.77) задают асимптотику с. у. с. ф., а формулы (5.75), (5.77) и (5.79) — асимптотику соответствующих им собственных значений. Окончательные результаты будут приведены в конце пункта, после построения локальных асимптотических разложений для с. у. с. ф.
Произведя замену переменной
у=2р(\-ц) (5.83)
и функций
Smi(p, и) =eP4(l-n?)m/V(P, У) (5.84)
в исходном уравнении (1.29) для с. у. с. ф., придем к уравнению
Ар
у* + (2т + 2 - у) у ^) + (« +1) (т-у) ср 0,)]
(5.85)
с «малым возмущением» в правой части.
Согласно п. 1 настоящего параграфа функции Ф»Др, у) раскладываются в ряд по невозмущенным
