Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
117
функциям вида
Ф»| (Р, У) = 2 Ш' 2 (У), (5.86)
где Lp$fc(t/) — функции Лагерра, которые представляются через вырожденную гипергеометрическую функцию
L<pm>(У) = Г?г?+ц F(-9,m+l,y), (5.87)
а при целочисленных значениях р обращаются в полиномы Лагерра.
В рассматриваемом случае следует предположить, что индекс р принимает значения р=п+бр, причем п — целое, а бр — экспоненциально малая по р величина.
Если подставить разложения (5.86) для функций <Vmi(p, У) и разложение (5.71) для vml(p) в уравнение (6.85) и потребовать его выполнения в каждом члене разложения по р, то получится рекуррентная система уравнений для коэффициентов $
kc\P = [(р + k + m + 1) (2р + 2k + m + 1) -
- (р + k + m) (m + 1)] - (p + *) (p + k + m) cgr,0 -
-(p + k + m+l)(p + k+\)c(il+ll) + 2 22'-Чс!/-'\
(5.88)
c(?> = О три }>k.
Из рекуррентной системы уравнений (5.88) коэффициенты ск0> (при кфЩ и vk выражаются через величину р и коэффициенты с0ш. Коэффициенты c0U) определяются нормировкой с. у. с. ф. Целая часть р равна числу нулей функции Sml(p, ц) на интервале не (О, 1), т. е.
—2—, l — m четное, -^— , l — m нечетное.
п = Ent р =
Здесь и далее Ent р — целая часть действительного числа р.
Представление с. у. с. ф. с помощью формул (5.84), (5.86) справедливо при г\<=2)и где iZ>i= [1 — tji, 1], tji =
118
=о(р-''-г), 0<е<'/2- На промежутке 2>2= [0,1— т\> , Ч2<Ц\, Ц2=о (р-'''~г) можно построить следующее асимптотическое разложение:
Smi (р, т)) =
Vi-v[
X
4- е—рс— ч)
X
X
(Я — константа), которое симметризовано в соответствии со свойством четности с. у. с. ф. Знакплюс берется при четных /—т, минус — при нечетных. Коэффициенты находятся из рекуррентной системы алгебраических уравнений, которая может быть получена, если подставить разложение (5.90) в уравнение (5.64).
Величина бр определяется из условия, чтобы разложения (5.84), (5.86) с учетом асимптотики функций Ла-герра и разложения (5.90) совпадали на пересечении S)if]S)2- Подробности соответствующих вычислений приведены в статье Damburg, Propin (1968). Можно показать, что величина бр равна величине б%, введенной выше (см. (5.79)).
Преимущество вычислений по второй схеме заключается в том, что процедуру последовательного вычисления
Сформулируем окончательные результаты для асимптотики с. у. с. ф. и собственных значений Kmi(p)- При этом наряду со степенными по большому параметру слагаемыми будем сохранять и экспоненциально малые по р величины.
«Малые» экспоненты позволяют различить симметричные и антисимметричные решения. Кроме того, при не слишком больших р учет «малых» экспонент приводит к значительно лучшему совпадению точных расчетов и расчетов по асимптотическим формулам.
Введем целочисленный индекс Is (см. 5.89):
коэффициентов ЭВМ
можно легко реализовать на
s=2n-\-m-\-\.
(5.91)
119
Из формул (5.72), (5.74), (5.75) получаем следующее асимптотическое представление для с. у. с. ф.:
Sml (р, ч) = ["Tl J ¦
1
ml(l
+ 2Xln
,,2)1/2
1 -
Mx,m/2 [2p(\ +т)) +
(5.92)
где X=s/2±6X (см. (5.79)), т)е[—1, 0]. Знак плюс соответствует четным 1—т, знак минус — нечетным. Если пренебречь малой окрестностью т)=0, то можно написать более простое выражение
Smi(p, ч)
^•^ = [-(JTW\ '[(1-10»+'J Х
X e~PO+n)LZ(2/> (1 + ч)) [l + О(¦!)]. (5.93)
Часто выражение (5.93) симметризуют так, чтобы учесть свойство четности с. у. с ф.:
(„ г») = [2s~'"'p'
,т+1 "]l/2
0+ ч)"
(1-ч)5+1
1/2
X
xe-P(l-N)Lm(2/j(1 +Т))) ±
(1 - г,)"
11/2
X
(1 + ч)5+1 _
«r-p<i-i>l? (2р (1 — 4))}[l + О (1)]. (5.94)
X
Очевидно, что при че[—1, —е] асимптотическое выражение (5.94) отличается от (5.93) слагаемым, которое можно внести в поправочный член. Здесь снова знак плюс берется при четных 1—т, а минус — при нечетных и, кроме того, в окрестности точек т) = ±1 надо пренебрегать сингулярным слагаемым. Оценка в формулах (5.92) — (5.94) не является равномерной в окрестности нулей с. у. с. ф.
В подбарьерной области Tje[— 1+е> 1-е] там, где полиномы Лагерра можно заменить их асимптотикой,
120
справедлива формула Smt (Р, ч) =
Асимптотическое разложение для собственных значений XmiiP) имеет вид (s=2rt-f-m-f-l)
Хт,(р) = 2ps-± (s2 + 1 - m2) - ^ (s2 + 1 - m2) -~ 647l5sl + 10s2 + 1 ~ 2m2(3s2 + ]) + m4l -7г ~
_ [JAt _ Щб I q , (4p)s+'e~2P Г. _ 3s2 + 4s + 1 - /и2 . P4 P5 V/ * л!(к + т)! L 8p +
Коэффициенты [Х]з, [k]s, [6A.]2, [6А.]з приводятся в табл. 10. Знак плюс берется при нечетных/ — т, знак минус— при четных. В частном случае т — 0, 1=0, 1,
Таблица 10
Коэффициенты [Л]з, [А,]«, [Х]$, [6к]2, [6к]3 асимптотического разложения (5.96) собственных значений Хт1(р) при р оо. Обозначения: см. формулы (5.89) и (5.91)
14 2~as[33 s*+114 s2+37—2 m2(23 s2+25) +13 m4]
2->°[63 s«+340 s4+239 sa+14—10 m2(10 s4+23 s2+3) + +3m4(13s2+6) —2 m*]
[»•]• 2"13s[527 s«+4139s4+5221 s2+1009 — m2(939 s4+3750 s2+ +,1591)+т4(465.5г+635) — 53 m»]
2"7[(9 s4+4 s3 — 18 s2 — 12 s - 7) — m2(6s2 - 4s — 6) +m4]
3-l2-10[(23s« — 44s5 — 171s* + 400s3 + 257s2 + 444s + 51) — —m2 (19s4—56s3—50s2+240s±55) + m4 (5.s2— 12s+5) — m6]
